Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6:5.

Question

Вопрос:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6:5.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть катеты треугольника равны $a$ и $b$, гипотенуза — $c$, а её отрезки, на которые она делится высотой — $c_a$ и $c_b$. 1. По условию катеты относятся как $6:5$. Обозначим их $a = 6x$ и $b = 5x$. 2. Из свойств прямоугольного треугольника известно, что катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: $a^2 = c \cdot c_a$ и $b^2 = c \cdot c_b$. 3. Разделим одно уравнение на другое: $\frac{a^2}{b^2} = \frac{c \cdot c_a}{c \cdot c_b} \Rightarrow \frac{(6x)^2}{(5x)^2} = \frac{c_a}{c_b} \Rightarrow \frac{c_a}{c_b} = \frac{36}{25}$. 4. Обозначим части отрезков гипотенузы через $k$, тогда $c_a = 36k$, а $c_b = 25k$. 5. По условию разность этих отрезков равна 11 см: $36k - 25k = 11$ $11k = 11$ $k = 1$. 6. Находим отрезки гипотенузы: $c_a = 36$ см, $c_b = 25$ см. 7. Гипотенуза $c = c_a + c_b = 36 + 25 = 61$ см. **Ответ: 61 см.**

Ответ ассистента

Другие решения