Докажите, что если хорды окружности равноудалены от центра, то они равны.

Question

Вопрос:

Докажите, что если хорды окружности равноудалены от центра, то они равны.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для доказательства воспользуемся свойствами хорд и радиусов окружности. ### Решение задачи №342 **Доказательство:** 1. Пусть в окружности с центром $O$ и радиусом $R$ проведены две хорды $AB$ и $CD$, которые равноудалены от центра. Это значит, что перпендикуляры $OK$ и $OM$, опущенные из центра на хорды, равны: $OK = OM$. 2. Соединим центр $O$ с концами хорд. Получим четыре отрезка $OA, OB, OC, OD$, каждый из которых равен радиусу $R$. 3. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OKA$ и $\triangle OMC$ (углы $K$ и $M$ прямые по построению расстояния): - Гипотенузы $OA = OC = R$. - Катеты $OK = OM$ (по условию). 4. Треугольники $\triangle OKA$ и $\triangle OMC$ равны по гипотенузе и катету. Следовательно, их вторые катеты равны: $AK = CM$. 5. Так как перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит её пополам, то $AB = 2 \cdot AK$ и $CD = 2 \cdot CM$. 6. Поскольку $AK = CM$, то $2 \cdot AK = 2 \cdot CM$, откуда $AB = CD$. **Ответ:** Что и требовалось доказать.

Докажите, что если хорды окружности равноудалены от центра, то они равны.

Ответ ассистента

Другие решения