1. В тетраэдре ABCD точки M, K и P — середины ребер AD, BD и DC. Докажите, что плоскость MKP параллельна плоскости ABC и найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника MKP равна 48 см².

1. **Доказательство и решение:** - В треугольниках $ABD$, $BCD$ и $ACD$ отрезки $MK$, $KP$ и $MP$ являются средними линиями (так как $M, K, P$ — середины ребер $AD, BD, DC$). - По свойству средней линии: $MK \parallel AB$, $KP \parallel BC$. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости ($MK$ и $KP$) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости ($AB$ и $BC$), то эти плоскости параллельны. Значит, $(MKP) \parallel (ABC)$. Что и требовалось доказать. - Средняя линия треугольника отсекает треугольник, площадь которого в 4 раза меньше площади исходного ($S_{MKP} = \frac{1}{4} S_{ABC}$). - $S_{ABC} = 4 \cdot S_{MKP} = 4 \cdot 48 = 192 \text{ см}^2$. **Ответ: 192 см²**. 2. **Построение:** - Обозначим $M$ — середину ребра $AB$. - Проведем в грани $ABB_1A_1$ прямую $MN \parallel BB_1$ (где $N$ на $A_1B_1$). Так как $BB_1 \parallel DD_1$, то $MN \parallel (DBB_1)$. - В основании $ABCD$ проведем $ML \parallel BD$ (где $L$ на $AD$). - Через точки $N$ и $L$ проводим прямые, параллельные соответствующим сторонам сечения $DBB_1D_1$. Искомое сечение — параллелограмм, проходящий через середины сторон. 3. **Решение:** - Неверно. Прямые могут быть скрещивающимися. - **Обоснование:** По определению, параллельные плоскости не имеют общих точек. Прямые $a$ и $b$ лежат в этих плоскостях, поэтому они точно не могут пересекаться. Однако они могут быть как параллельными друг другу, так и скрещивающимися. **Ответ: Неверно.**