В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°.

1. В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^{\circ}$. По условию один угол прямой ($90^{\circ}$), а другой $30^{\circ}$. Тогда третий угол равен: $180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $AB < BC < AC$, то $\angle C < \angle A < \angle B$. Следовательно: $\angle C = 30^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 90^{\circ}$. **Ответ: 60°, 90°, 30°.** 2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. $x + (x + 40^{\circ}) = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ}$ $x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$) $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. **Ответ: 25°, 65°.** 3. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$. Тогда $\angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. $BD$ — биссектриса угла $B$, значит $\angle CBD = \angle ABD = 30^{\circ} : 2 = 15^{\circ}$. Рассмотрим $\triangle BCD$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle CBD = 15^{\circ}$. $\angle BDC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 15^{\circ}) = 75^{\circ}$. **Ответ: 15°, 90°, 75°.** 4. Допущение: Периметр равен 50 см (текст частично обрезан, но по контексту задач этого уровня обычно 50). Пусть одна сторона $x$, другая $x - 13$. Случай 1: Основание $x$, боковые стороны по $x - 13$. $x + 2(x - 13) = 50 \Rightarrow 3x - 26 = 50 \Rightarrow 3x = 76 \Rightarrow x = 25\frac{1}{3}$. Стороны: $25\frac{1}{3}, 12\frac{1}{3}, 12\frac{1}{3}$. (Условие существования $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} < 25\frac{1}{3}$ не выполняется, треугольник не существует). Случай 2: Боковые стороны по $x$, основание $x - 13$. $2x + (x - 13) = 50 \Rightarrow 3x = 63 \Rightarrow x = 21$. Стороны: $21, 21, 21 - 13 = 8$. **Ответ: 21 см, 21 см, 8 см.**