В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол BAD равен 47°50'. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ BD перпендикулярна к стороне AB.

1. Заметим, что так как $BD \perp AB$, то треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABD = 90^\circ$). 2. В прямоугольном треугольнике $ABD$ гипотенуза $AD = 12$ см, а острый угол $\angle BAD = 47^\circ 50'$. 3. Найдем катет $AB$ (прилежащий к углу $BAD$): $AB = AD \cdot \cos(47^\circ 50')$. 4. Найдем катет $BD$ (противолежащий углу $BAD$), который является высотой параллелограмма, проведенной к стороне $AB$: $BD = AD \cdot \sin(47^\circ 50')$. 5. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = AB \cdot BD$ (так как $BD$ — высота к основанию $AB$): $S = (12 \cdot \cos 47^\circ 50') \cdot (12 \cdot \sin 47^\circ 50') = 144 \cdot \sin 47^\circ 50' \cdot \cos 47^\circ 50'$ Используя формулу синуса двойного угла ($\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$): $S = 72 \cdot \sin(2 \cdot 47^\circ 50') = 72 \cdot \sin(95^\circ 40')$ 6. Вычислим значение: $95^\circ 40' \approx 95,67^\circ$; $\sin 95,67^\circ \approx 0,9951$ $S \approx 72 \cdot 0,9951 \approx 71,65$ см$^2$. **Ответ: $\approx 71,65$ см$^2$.**