Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC длиной 15 см и 20 см соответственно. Найдите расстояние от точки A до плоскости, если проекции наклонных на эту плоскость относятся как 9 : 16.

Question

Вопрос:

Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC длиной 15 см и 20 см соответственно. Найдите расстояние от точки A до плоскости, если проекции наклонных на эту плоскость относятся как 9 : 16.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $AH$ — перпендикуляр из точки $A$ к плоскости $\alpha$ ($AH = h$). Тогда $HB$ и $HC$ — проекции наклонных $AB$ и $AC$ на эту плоскость. Из прямоугольных треугольников $AHB$ и $AHC$ по теореме Пифагора: 1. $h^2 = AB^2 - HB^2 = 15^2 - HB^2$ 2. $h^2 = AC^2 - HC^2 = 20^2 - HC^2$ Из условия проекции относятся как $9 : 16$. Пусть $HB = 9x$, а $HC = 16x$. Составим уравнение: $15^2 - (9x)^2 = 20^2 - (16x)^2$ $225 - 81x^2 = 400 - 256x^2$ $256x^2 - 81x^2 = 400 - 225$ $175x^2 = 175$ $x^2 = 1$ $x = 1$ (так как длина положительна). Найдем проекцию $HB = 9 \cdot 1 = 9$ см. Вычислим расстояние $h$: $h^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$ $h = \sqrt{144} = 12$ см. **Ответ: 12 см**.

Ответ ассистента

Другие решения