А7. Площадь прямоугольника равна 24 см², а его стороны относятся как 2 : 3. Чему равна диагональ прямоугольника? В1. В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, основание BC равно 5 см, BF и CE — высоты трапеции, ED = 4 см. Найдите площадь трапеции. В2. В треугольнике ABC биссектриса AH равна 8 см, AB = 6 см, AC = 9 см. Найдите SABH : SACH.

1. Пусть стороны прямоугольника равны $2x$ и $3x$ см. По условию площадь $S = 2x \cdot 3x = 24$. 2. Решим уравнение: $6x^2 = 24 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ см. 3. Стороны прямоугольника: $a = 2 \cdot 2 = 4$ см, $b = 3 \cdot 2 = 6$ см. 4. По теореме Пифагора диагональ $d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см. **Ответ: 3) $2\sqrt{13}$ см**. 1. Проведём вторую высоту $BF$. В прямоугольной трапеции или трапеции с высотами $BCEF$ — прямоугольник, значит $FE = BC = 5$ см. 2. В треугольнике $CED$ ($\angle E = 90^\circ$): так как $\angle D = 45^\circ$, то $\triangle CED$ равнобедренный, $CE = ED = 4$ см. Значит, высота трапеции $h = 4$ см. 3. В треугольнике $ABF$ ($\angle F = 90^\circ$): $\angle A = 60^\circ$. Используем тангенс: $tg(60^\circ) = \frac{BF}{AF} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{4}{AF} \Rightarrow AF = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см. 4. Нижнее основание $AD = AF + FE + ED = \frac{4\sqrt{3}}{3} + 5 + 4 = 9 + \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см. 5. Площадь $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CE = \frac{5 + 9 + \frac{4\sqrt{3}}{3}}{2} \cdot 4 = (14 + \frac{4\sqrt{3}}{3}) \cdot 2 = 28 + \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см$^2$. **Ответ: $28 + \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см$^2$**. 1. Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$. 2. $S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH \cdot \sin(\angle BAH)$. 3. $S_{ACH} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH \cdot \sin(\angle CAH)$. 4. Так как $AH$ — биссектриса, то $\angle BAH = \angle CAH$. Отношение площадей: $\frac{S_{ABH}}{S_{ACH}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH \cdot \sin(\angle BAH)}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH \cdot \sin(\angle CAH)} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. **Ответ: 2 : 3**.