Вариант 2. 1. В трапеции ABCD AD и BC — основания, ∠A = 90°, BC = 4 см, CD = 10 см. Высота CK равна 8 см. Найдите площадь трапеции.

1. В трапеции $ABCD$ проведем высоту $CK = 8$ см. Так как $\angle A = 90^\circ$ и $AD \parallel BC$, то высота трапеции $h = CK = 8$ см. Рассмотрим прямоугольный $\triangle CKD$ ($\angle K = 90^\circ$): по теореме Пифагора $KD = \sqrt{CD^2 - CK^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = 6$ см. Основание $AD = AK + KD$. Так как $ABCK$ — прямоугольник, $AK = BC = 4$ см. Тогда $AD = 4 + 6 = 10$ см. Площадь трапеции: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot CK = \frac{10 + 4}{2} \cdot 8 = 7 \cdot 8 = 56$ см². Ответ: 56 см². 2. В $\triangle BDC$ стороны $BC = 13$ см, $DC = 5$ см, $BD = 12$ см. Проверим теорему Пифагора: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. Так как $DC^2 + BD^2 = BC^2$, то $\triangle BDC$ — прямоугольный с $\angle BDC = 90^\circ$. В $\triangle ABD$: $\angle ADB = 180^\circ - \angle BDC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. В прямоугольном $\triangle ABD$ $\angle A = 45^\circ$, значит $\angle ABD = 45^\circ$, и $\triangle ABD$ — равнобедренный: $AD = BD = 12$ см. Сторона $AC = AD + DC = 12 + 5 = 17$ см. Площадь $\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 12 = 17 \cdot 6 = 102$ см². Ответ: 102 см². 3. а) В $\triangle ABD$ $\angle A = 60^\circ$, $\angle ABD = 90^\circ$, значит $\angle ADB = 30^\circ$. В $\triangle KBM$ отрезок $KM \parallel AD$, значит $\triangle KBM \sim \triangle ABD$. $M$ — середина $BD$, поэтому $KM$ — средняя линия $\triangle ABD$. Тогда $AD = 2 \cdot MK = 2 \cdot 4 = 8$ см. В $\triangle ABD$ катет $AB = AD \cdot \cos 60^\circ = 8 \cdot 0,5 = 4$ см. Площадь параллелограмма $S = AB \cdot BD$. Найдем $BD = AD \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см. $S = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см². б) Площадь $\triangle AMD$: высота из $M$ на $AD$ равна половине высоты $BD$ (так как $M$ — середина $BD$), то есть $h_{AMD} = \frac{1}{2} BD$. $S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{1}{2} BD = \frac{1}{4} S_{ABD} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) = \frac{1}{8} S_{ABCD} = \frac{16\sqrt{3}}{8} = 2\sqrt{3}$ см². Ответ: а) $16\sqrt{3}$ см²; б) $2\sqrt{3}$ см². 4. Площадь четырехугольника $AKCD$ состоит из площадей $S_{AKD} + S_{KCD}$. Площадь $\triangle ABD = S_{AKD} + S_{KBD}$. Чтобы доказать равенство площадей $S_{AKCD} = S_{ABD}$, нужно доказать, что $S_{KCD} = S_{KBD}$. Эти треугольники имеют общее основание $KD$. Так как $BC \parallel KD$, то высоты этих треугольников, опущенные на прямую $KD$, равны (это расстояние между параллельными прямыми). Следовательно, их площади равны, что и требовалось доказать.