Найдите квадрат расстояния между вершинами D и B₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=3, AD=5, AA₁=3.

1. В прямоугольном параллелепипеде квадрат расстояния между противоположными вершинами $D$ и $B_1$ (диагональ $DB_1$) равен сумме квадратов трёх его измерений: $DB_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2 = 3^2 + 5^2 + 3^2 = 9 + 25 + 9 = 43$. **Ответ: 43**. 2. Расстояние между вершинами $B$ и $A_1$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника $ABA_1$ (так как $AA_1 \perp AB$): $BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$. **Ответ: 13**. 3. Угол $\angle C_1BC$ находится в прямоугольном треугольнике $BCC_1$ (где $\angle BCC_1 = 90^\circ$). В параллелепипеде $BC = AD = 4$ и $CC_1 = AA_1 = 4$. Так как катеты равны ($BC = CC_1$), треугольник равнобедренный, и острые углы равны $45^\circ$. **Ответ: 45**. 4. Длина диагонали $AC_1$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $AC_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + AD^2 + BB_1^2} = \sqrt{21^2 + 16^2 + 12^2} = \sqrt{441 + 256 + 144} = \sqrt{841} = 29$. **Ответ: 29**. 5. Пусть ребро куба равно $a$. Диагональ куба $d = a\sqrt{3}$. $a\sqrt{3} = 6 \Rightarrow a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$. Площадь поверхности куба $S = 6a^2 = 6 \cdot (2\sqrt{3})^2 = 6 \cdot (4 \cdot 3) = 6 \cdot 12 = 72$. **Ответ: 72**.