1. Найди координаты середины отрезка AB, если A(6; -7), B(4; 5).

### Часть А 1. Координаты середины отрезка $AB$ с концами $A(6; -7)$ и $B(4; 5)$ находятся по формулам: $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$. $x = \frac{6 + 4}{2} = 5$; $y = \frac{-7 + 5}{2} = -1$. **Ответ: (5; -1)**. 2. Пусть координаты точки $A$ — $(x_A; y_A)$. Так как $O$ — середина $AC$: $x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow 2 = \frac{x_A + 4}{2} \Rightarrow 4 = x_A + 4 \Rightarrow x_A = 0$; $y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow 4 = \frac{y_A - 3}{2} \Rightarrow 8 = y_A - 3 \Rightarrow y_A = 11$. **Ответ: A(0; 11)**. 3. Расстояние $MN = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$: $MN = \sqrt{(11 - 8)^2 + (-3 - (-7))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$. **Ответ: 5**. 4. Уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Здесь $x_0 = 3, y_0 = 5, R^2 = 25 \Rightarrow R = 5$. **Ответ: центр (3; 5), радиус 5**. 5. Решим систему уравнений: $\begin{cases} 4x - 2y = 0 \\ -x + 2y = 12 \end{cases} \Rightarrow \text{сложим уравнения: } 3x = 12 \Rightarrow x = 4$. Подставим $x = 4$ в первое уравнение: $4 \cdot 4 - 2y = 0 \Rightarrow 16 = 2y \Rightarrow y = 8$. **Ответ: (4; 8)**. ### Часть В 6. Уравнение окружности: $(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = R^2$. Найдем $R^2$ как квадрат расстояния от центра $O(-2; 1)$ до точки $T(2; -6)$: $R^2 = (2 - (-2))^2 + (-6 - 1)^2 = 4^2 + (-7)^2 = 16 + 49 = 65$. **Ответ: (x + 2)² + (y - 1)² = 65**. 7. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. У искомой прямой $k = -3$. Уравнение: $y - y_M = k(x - x_M) \Rightarrow y - (-3) = -3(x - 2) \Rightarrow y + 3 = -3x + 6 \Rightarrow y = -3x + 3$. **Ответ: y = -3x + 3**. ### Часть С 1. У искомой прямой $k = 4$ (так как она параллельна $y = 4x - 5$). Найдем центр окружности $x^2 - 8x + y^2 + 10y - 40 = 0$, выделив полные квадраты: $(x^2 - 8x + 16) - 16 + (y^2 + 10y + 25) - 25 - 40 = 0 \Rightarrow (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 81$. Центр окружности: $(4; -5)$. Уравнение прямой через точку $(4; -5)$ с $k = 4$: $y - (-5) = 4(x - 4) \Rightarrow y + 5 = 4x - 16 \Rightarrow y = 4x - 21$. **Ответ: y = 4x - 21**.