Пусть d — расстояние от центра окружности радиуса r до прямой p. Каково взаимное расположение прямой p и окружности, если: а) r=16 см, d=12 см; б) r=5 см, d=4,2 см; в) r=7,2 дм, d=3,7 дм; г) r=8 см, d=1,2 дм; д) r=5 см, d=50 мм?

631. Взаимное расположение прямой и окружности зависит от сравнения радиуса $r$ и расстояния $d$: - Если $d < r$, прямая и окружность пересекаются в двух точках (секущая). - Если $d = r$, прямая и окружность имеют одну общую точку (касательная). - Если $d > r$, прямая и окружность не имеют общих точек. а) $r = 16$ см, $d = 12$ см. Так как $12 < 16$ ($d < r$), прямая является секущей. б) $r = 5$ см, $d = 4,2$ см. Так как $4,2 < 5$ ($d < r$), прямая является секущей. в) $r = 7,2$ дм, $d = 3,7$ дм. Так как $3,7 < 7,2$ ($d < r$), прямая является секущей. г) $r = 8$ см, $d = 1,2$ дм. Переведём в одни единицы: $d = 12$ см. Так как $12 > 8$ ($d > r$), общих точек нет. д) $r = 5$ см, $d = 50$ мм. Переведём в одни единицы: $d = 5$ см. Так как $5 = 5$ ($d = r$), прямая является касательной. 638. Радиус $OB$, проведённый в точку касания $B$, перпендикулярен касательной $AB$ (по свойству касательной). Значит, треугольник $OBA$ — прямоугольный ($\\angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AB^2 + OB^2 = OA^2$. $AB^2 = OA^2 - r^2 = 2^2 - 1,5^2 = 4 - 2,25 = 1,75$. $AB = \\sqrt{1,75} = \\sqrt{\\frac{175}{100}} = \\frac{\\sqrt{25 \\cdot 7}}{10} = \\frac{5\\sqrt{7}}{10} = 0,5\\sqrt{7}$ см. **Ответ: 0,5\\sqrt{7} см.** 639. Треугольник $OBA$ — прямоугольный ($\\angle B = 90^\circ$, так как $OB \\perp AB$). $\\angle AOB = 60^\circ$, значит $\\angle OAB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике против угла в $30^\circ$ лежит катет, равный половине гипотенузы, или через тангенс: $AB = r \\cdot \\tan(60^\circ) = 12 \\cdot \\sqrt{3}$ см. **Ответ: 12\\sqrt{3} см.**