В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 4 см, 8 см, 4√5 см. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

4. 1) Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда: $a = 4$ см, $b = 8$ см, $c = 4\sqrt{5}$ см. 2) Диагональ основания $d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см. 3) Угол $\alpha$ между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между диагональю и её проекцией на это основание (диагональю основания). В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю параллелепипеда, диагональю основания и высотой (ребром $c$): $\operatorname{tg} \alpha = \frac{c}{d} = \frac{4\sqrt{5}}{4\sqrt{5}} = 1$. Значит, $\alpha = 45^\circ$. **Ответ: 3) 45°** 5. 1) Пусть стороны основания $a = x$ и $b = 2x$, тогда диагональ основания $d = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}$. 2) По условию высота $c = d = x\sqrt{5}$. 3) Проверим варианты ответов: Если $x=1$, то измерения: $1; 2; 1\sqrt{5} = \sqrt{5}$. (Нет в списке) Если $x=2$, то измерения: $2; 4; 2\sqrt{5}$. Это вариант 2). **Ответ: 2) 2; 4; 2√5** 6. 1) В кубе прямая $A_1D$ является диагональю грани $AA_1D_1D$. 2) Проведём прямую $B_1C$, которая параллельна $A_1D$. Угол между $A_1D$ и $AB_1$ равен углу между $B_1C$ и $AB_1$. 3) Рассмотрим треугольник $AB_1C$. Его стороны $AB_1$, $B_1C$ и $AC$ являются диагоналями граней куба. Так как все грани куба — равные квадраты, их диагонали равны. Значит, $\triangle AB_1C$ — равносторонний, и все его углы равны $60^\circ$. **Ответ: 2) 60°** 7. 1) Пусть измерения параллелепипеда: $AA_1 = h$, $AB = a$, $AD = b$. 2) Грань $AA_1B_1B$ — квадрат, значит $h = a$. 3) Сечение $AB_1C_1D$ — квадрат. Стороны сечения: $AB_1$ и $BC$ (или $AD$). $AB_1 = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Так как это квадрат, то $AD = AB_1$, то есть $b = a\sqrt{2}$. 4) Диагональ параллелепипеда $D = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$. По условию $D = 2$, значит $2a = 2 \Rightarrow a = 1$. 5) Измерения: $a = 1$, $h = 1$, $b = 1\sqrt{2} = \sqrt{2}$. Произведение: $1 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$. **Ответ: 3) √2**