Самостоятельная работа. Вариант 1. 1. Вычислите: а) интеграл от 2 до 5 4dx... 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y=x^2, x=1, x=3, y=0...

1. Вычислите: а) $\int_{2}^{5} 4 dx = 4x \Big|_2^5 = 4 \cdot 5 - 4 \cdot 2 = 20 - 8 = 12$ б) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = -\cos x \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\frac{\pi}{2} - (-\cos 0) = 0 + 1 = 1$ в) $\int_{0}^{1} (x+1)^5 dx = \frac{(x+1)^6}{6} \Big|_0^1 = \frac{(1+1)^6}{6} - \frac{(0+1)^6}{6} = \frac{64}{6} - \frac{1}{6} = \frac{63}{6} = 10,5$ г) $\int_{\pi}^{2\pi} \cos \frac{x}{6} dx = 6 \sin \frac{x}{6} \Big|_{\pi}^{2\pi} = 6 \left( \sin \frac{2\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6} \right) = 6 \left( \sin \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{6} \right) = 6 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \right) = 3\sqrt{3} - 3$ 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) $y=x^2, x=1, x=3, y=0$ $S = \int_{1}^{3} x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Big|_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = 9 - \frac{1}{3} = 8\frac{2}{3}$ б) $y=2\cos x, y=0, -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ $S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos x dx = 2\sin x \Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 2\sin\frac{\pi}{2} - 2\sin(-\frac{\pi}{2}) = 2(1) - 2(-1) = 2 + 2 = 4$ в) $y=2x^2, y=2x$ Найдём точки пересечения: $2x^2 = 2x \Rightarrow 2x(x - 1) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 1$. $S = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx = (x^2 - \frac{2x^3}{3}) \Big|_0^1 = (1^2 - \frac{2 \cdot 1^3}{3}) - 0 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ Ответ: 1. а) 12; б) 1; в) 10,5; г) $3\sqrt{3} - 3$. 2. а) $8\frac{2}{3}$; б) 4; в) $\frac{1}{3}$.