Вариант 2. 1. Наклонная образует с плоскостью угол 60 градусов. Найдите длину наклонной, если длина её проекции на эту плоскость равна 9 см.

1. Пусть $l$ — длина наклонной, $d = 9$ см — длина её проекции, $\alpha = 60^\circ$ — угол между наклонной и плоскостью. Из прямоугольного треугольника: $d = l \cdot \cos \alpha \Rightarrow l = \frac{d}{\cos 60^\circ} = \frac{9}{0,5} = 18$. Ответ: 18 см. 2. Пусть $l = 6$ см — длина наклонной, $h = 3$ см — расстояние от конца наклонной до плоскости (перпендикуляр), $\alpha$ — искомый угол. $\sin \alpha = \frac{h}{l} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^\circ$. Ответ: $30^\circ$. 3. В равнобедренном $\triangle ABC$ ($AB=BC=5$, $AC=6$) медиана $BM$ является высотой ($BM \perp AC$). $BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$ см. Так как $SB \perp (ABC)$, то $BM$ — проекция $SM$ на плоскость. Искомый угол $\angle SMB$. В $\triangle SBM$ ($SB=4$, $BM=4$, $\angle SBM = 90^\circ$): $\text{tg } \angle SMB = \frac{SB}{BM} = \frac{4}{4} = 1 \Rightarrow \angle SMB = 45^\circ$. Ответ: $45^\circ$. 4. Пусть $h$ — перпендикуляр из $C$ к плоскости $\alpha$. Для наклонной $CA$: $h = CA \cdot \sin 45^\circ = 8\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{12} = 8\sqrt{3}$ см. Для наклонной $CB$: искомая проекция $d_B = \frac{h}{\text{tg } 30^\circ} = \frac{8\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 24$ см. Ответ: 24 см. 5. Пусть $h = 6$ см. Проекции наклонных: $d_A = \frac{h}{\text{tg } 45^\circ} = \frac{6}{1} = 6$ см, $d_B = \frac{h}{\text{tg } 30^\circ} = \frac{6}{1/\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ см. В треугольнике, образованном проекциями и расстоянием $AB$, по теореме косинусов: $AB^2 = d_A^2 + d_B^2 - 2 d_A d_B \cos 135^\circ = 6^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 36 + 108 + 36\sqrt{6} = 144 + 36\sqrt{6}$. $AB = \sqrt{144 + 36\sqrt{6}} = 6\sqrt{4 + \sqrt{6}}$ см. Ответ: $6\sqrt{4 + \sqrt{6}}$ см.