№2. В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 12 см, 16 см, 20 см. Найти диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.

1. **Найдём диагональ параллелепипеда ($d$)**. По свойству прямоугольного параллелепипеда квадрат его диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений ($a, b, c$): $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$ $d^2 = 12^2 + 16^2 + 20^2 = 144 + 256 + 400 = 800$ $d = \sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2}$ см. 2. **Найдём синус угла между диагональю и плоскостью основания ($\\sin \alpha$)**. Угол между наклонной (диагональю $AC_1$) и плоскостью основания — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость (диагональю основания $AC$). Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$ (где $CC_1$ — высота, равная одному из рёбер, например 16 см, а $AC_1$ — диагональ параллелепипеда): $\sin \alpha = \frac{CC_1}{AC_1} = \frac{16}{20\sqrt{2}} = \frac{4}{5\sqrt{2}}$ Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\sin \alpha = \frac{4\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{2}}{10} = 0,4\sqrt{2}$. **Ответ:** диагональ равна $20\sqrt{2}$ см, синус угла равен $0,4\sqrt{2}$.