1. Найдите градусную меру угла BMF (рис. 52). 2. Какова градусная мера угла B, изображённого на рисунке 53?

1. Найдём сумму углов четырёхугольника $ABFC$ на рис. 52. Угол $\angle BAC$ смежный с углом $92^\circ$: $\angle BAC = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$. Угол $\angle ABM$ вертикальный с углом $65^\circ$, значит $\angle ABM = 65^\circ$. Сумма углов в четырёхугольнике $ABFC$ равна $360^\circ$. $\angle BMF = 360^\circ - (65^\circ + 88^\circ + 88^\circ) = 360^\circ - 241^\circ = 119^\circ$. **Ответ: 119°**. 2. Рассмотрим треугольник $OEF$ на рис. 53. $\angle OEF = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ (смежный). $\angle EFO = 180^\circ - (54^\circ + 135^\circ) = 180^\circ - 189^\circ$. Ошибка в условии (сумма углов $> 180^\circ$). Если считать, что $\angle AEO = 45^\circ$, тогда в $\triangle AOD$: $\angle OAD = 180^\circ - (54^\circ + 32^\circ) = 94^\circ$. Без уточнения данных по рис. 53 решение невозможно. **Недостаточно данных для решения**. 3. В четырёхугольнике $ANMF$ (рис. 54) $AN = FM$ и $AN \parallel FM$. По признаку параллелограмма $ANMF$ — параллелограмм. В параллелограмме накрест лежащие углы при параллельных прямых $AF$ и $NM$ и секущей $NF$ равны: $\angle AFN = \angle MNF$. 4. В $\triangle ABC$: $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Биссектриса $CD$ делит $\angle C$ на два угла по $30^\circ$. В $\triangle ADC$ два угла по $30^\circ$ ($\angle A$ и $\angle ACD$), значит он равнобедренный: $AD = CD$. В прямоугольном $\triangle BDC$ катет $BD = 5$ см лежит против угла $30^ \circ$, значит гипотенуза $CD = 2 \cdot BD = 10$ см. Тогда $AD = CD = 10$ см. Весь катет $AB = AD + BD = 10 + 5 = 15$ см. **Ответ: 15 см**. 5. В $\triangle AMC$ углы при основании $AC$ (т.к. $AM = MC$): $\angle MAC = \angle MCA = (180^\circ - 56^\circ) : 2 = 62^\circ$. В $\triangle ABC$: $\angle A = 62^\circ$. Если предположить, что $\angle B$ меньше $56^\circ$, то $\angle C$ в $\triangle ABC$ будет меньше $62^\circ$. Против большего угла лежит большая сторона. Так как $\angle A > \angle C$ (в $\triangle ABC$), то $BC > AB$. Так как $AB > AC$ в данном случае, то $BC > AC$. 6. В $\triangle ABO$: $\angle OAB + \angle OBA = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$. Т.к. $AK$ и $BF$ — биссектрисы, то $\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 44^\circ$, значит $\angle A + \angle B = 88^\circ$. В $\triangle ABC$: $\angle ACB = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$. **Ответ: 92°**.