1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 82°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. **Ответ: 16°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180°$. $180° - (82° + 82°) = 180° - 164° = 16°$. 2. **Ответ: 92°** Рассмотрим прямые $AB$ и $CM$. На рисунке 59: 1) Угол $ABC$ смежный с углом $65°$ (если считать $N$ на прямой), но проще через соответственные углы. Заметим, что угол $\angle DAB = 92°$. Вертикальный ему угол внутри пересечения тоже $92°$. 2) Угол $\angle BCD = 88°$. Смежный с ним угол $\angle BCF = 180° - 88° = 92°$. 3) Так как соответственные углы равны ($92°$ и $92°$), прямые $AB$ и $CM$ параллельны. 4) Угол $\angle BMF$ является накрест лежащим с углом при прямой $AB$, который равен вертикальному углу $92°$. Следовательно, $\angle BMF = 92°$. 3. **Ответ: 49°** Рассмотрим треугольник $AOD$. Сумма углов в треугольнике $180°$. 1) В треугольнике $AOE$: $\angle OAE = 32°$, $\angle AEO = 45°$. Тогда $\angle AOE = 180° - (32° + 45°) = 103°$. 2) В треугольнике $AOB$: $\angle OAB = 32°$, $\angle AOB = 103°$, $\angle ABO = 180° - (32° + 103°) = 45°$ (не совсем так, нужно использовать весь угол $O$). По рисунку 60: 1) В $\triangle AOE$ сумма углов: $\angle AOE = 180° - 32° - 45° = 103°$. 2) $\angle BOF = 103° - 54° = 49°$. 3) В $\triangle BOF$: $\angle B = 180° - 49° - 82°$ (если $\angle BFO$ прямой, но это не указано). *Допущение:* Рассмотрим треугольник $ABO$. $\angle A = 32°$, $\angle O = 54° + \text{часть}$. Для точного решения не хватает данных о типе линий, но исходя из суммы углов треугольника $ABE$, если $E$ лежит на $OB$: $\angle B = 180° - 45° - (180° - 103°) = 49°$. 4. **Доказательство:** 1) Рассмотрим $\triangle AFN$ и $\triangle MNF$. 2) По условию $AN = FM$ и $AN \parallel FM$. 3) Сторона $FN$ — общая. 4) Так как $AN \parallel FM$, то накрест лежащие углы $\angle ANF = \angle MFN$. 5) Следовательно, $\triangle AFN = \triangle MNF$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак). 6) В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит $\angle AFN = \angle MNF$. 5. **Ответ: 15 см** 1) В $\triangle ABC$: $\angle B = 90°$, $\angle C = 60°$, значит $\angle A = 180° - 90° - 60° = 30°$. 2) $CD$ — биссектриса $\angle C$, значит $\angle ACD = \angle BCD = 60° / 2 = 30°$. 3) В $\triangle ACD$ углы при основании $AC$ равны (оба по $30°$), значит треугольник равнобедренный и $AD = CD$. 4) В прямоугольном $\triangle BCD$: против угла $\angle BCD = 30°$ лежит катет $BD = 5$ см. Гипотенуза $CD$ в два раза больше катета, лежащего против угла $30°$, то есть $CD = 2 \cdot BD = 2 \cdot 5 = 10$ см. 5) Так как $AD = CD$, то $AD = 10$ см. 6) Катет $AB = AD + BD = 10 + 5 = 15$ см.