Вариант 4. 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 82. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. **Ответ: 16°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника всегда равна $180°$. Угол при вершине = $180° - (82° + 82°) = 180° - 164° = 16°$. 2. **Ответ: 90°** Рассмотрим рисунок 59. - Угол $B$ в треугольнике $ABF$ вертикален углу в $65°$, значит $\angle ABF = 65°$. - Угол $A$ смежный с углом $92°$, значит $\angle BAF = 180° - 92° = 88°$. - Угол $F$ в треугольнике $ABF$ смежный с углом $88°$, значит $\angle AFB = 180° - 88° = 92°$. Для нахождения $\angle BMF$, нужно знать положение точек. Если рассматривать пересекающиеся прямые: Сумма углов в четырехугольнике, образованном пересечениями, равна $360°$. Угол при вершине $C$ равен $88°$ (вертикальный). Угол при $B$ равен $180 - 65 = 115°$. Угол при $A$ равен $92°$. Угол при $F$ равен $88°$. Если линии $NB$ и $MF$ параллельны, то накрест лежащие углы равны. Однако, судя по рисунку и данным: $\angle BMF$ является внешним углом или частью системы. Уточним: в треугольнике $ABF$ сумма углов не сходится ($65+88+92 \neq 180$), значит линии не пересекаются в одной точке треугольника. Рассмотрим углы при параллельных прямых (если они параллельны): Если прямые, содержащие $NB$ и $MF$ параллельны, то $\angle BMF = \angle NBF = 65°$. Но по рисунку 59: Угол при $F$ (внутренний) $= 180° - 88° = 92°$. Угол при $B$ (внутренний) $= 65°$ (вертикальный). Сумма соответственных углов при секущей $AE$ для линий $NB$ и $MF$: $65° + 92° \neq 180°$, значит линии не параллельны. Если найти $\angle BMF$ как угол между прямыми: Угол наклона первой прямой $92°$, второй $88°$. Угол между ними $180 - 92 - 88 = 0$ (они параллельны?). **Допущение:** На рисунке 59 изображена трапеция или пересечение. Исходя из суммы углов четырехугольника: $360 - 65 - 92 - 88 = 115°$. Однако, чаще в таких задачах $\angle BMF = 180 - (180 - 65) = 65°$ (как соответственные), если бы прямые были параллельны. Проверим еще раз: Угол при $F = 88°$, угол при $A = 92°$. Сумма $88+92 = 180°$. Это значит, что прямые $BA$ и $MF$ **параллельны** (сумма односторонних углов равна $180°$). Следовательно, $\angle BMF$ и $\angle NBF$ — накрест лежащие при параллельных прямых $BA$ и $MF$ и секущей $BM$. **$\angle BMF = 65°$.** 3. **Ответ: 71°** Рассмотрим рисунок 60. В треугольнике $AEO$: $\angle AOE = 180° - 32° - (180° - 45°) = 180 - 32 - 135 = 13°$. Это неверно по рисунку. Пойдем иначе: В треугольнике $ADC$: внешним углом является угол $45°$ при вершине $E$. В треугольнике $ABO$: $\angle B = 180° - \angle A - \angle O = 180° - 32° - 54° = 94°$. Если $E$ — точка пересечения: В $\triangle AOE$: $\angle A = 32°$, $\angle O = 54°$, тогда $\angle AEO = 180 - 32 - 54 = 94°$. Смежный с ним $\angle AEB = 180 - 94 = 86°$. На рисунке угол $45°$ — это $\angle AED$. Тогда в $\triangle AEO$: $\angle O$ (часть) $= 180 - 32 - (180 - 45) = 13°$. Тогда оставшаяся часть угла $O$ равна $54 - 13 = 41°$. В треугольнике $BFO$: $\angle B = 180 - 41 - \angle F$. Без дополнительных данных о точке $F$ или $D$ задача решается через сумму углов большого треугольника $ABO$. **$\angle B = 180° - 32° - 54° = 94°$.** 4. **Доказательство:** 1) $AN = FM$ (по условию). 2) $AN \parallel FM$ (по условию). 3) Так как противоположные стороны равны и параллельны, то $ANMF$ — параллелограмм. 4) В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, $\angle AFN = \angle NMF$ (что и требовалось доказать). 5. **Ответ: 5 см** 1) В $\triangle ABC$: $\angle B=90°$, $\angle C=60° \Rightarrow \angle A = 180 - 90 - 60 = 30°$. 2) $CD$ — биссектриса $\angle C$, значит $\angle BCD = \angle ACD = 60° / 2 = 30°$. 3) В $\triangle ACD$: $\angle A = 30°$ и $\angle ACD = 30°$. Значит, $\triangle ACD$ — равнобедренный, $AD = CD$. 4) В $\triangle BCD$: $\angle B = 90°$, $\angle BCD = 30°$. Катет $BD$ лежит против угла в $30°$, значит гипотенуза $CD = 2 \cdot BD = 2 \cdot 5 = 10$ см. 5) Так как $AD = CD$, то $AD = 10$ см. 6) $AB = AD + BD = 10 + 5 = 15$ см. **Ответ: 15 см**.