**1. Ответ: 16°**
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если один угол при основании равен $82^{\circ}$, то и второй тоже $82^{\circ}$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$.
Угол при вершине = $180^{\circ} - (82^{\circ} + 82^{\circ}) = 180^{\circ} - 164^{\circ} = 16^{\circ}$.
**2. Ответ: 95°** (по рис. 59)
1) Рассмотрим прямые $AB$ и $CF$ и секущую $DE$. Угол $\angle DAB = 92^{\circ}$ и угол $\angle ACF = 88^{\circ}$ являются внутренними односторонними. Их сумма $92^{\circ} + 88^{\circ} = 180^{\circ}$. Следовательно, прямые $AB$ и $CF$ параллельны ($AB \parallel CF$).
2) Рассмотрим параллельные прямые $AB \parallel CF$ и секущую $BM$. Угол $\angle NBM = 65^{\circ}$ и угол $\angle BMF$ — это внутренние накрест лежащие углы при секущей $BM$ (так как $BM$ пересекает $AB$ и $CF$).
Но здесь есть нюанс: на рисунке точка $M$ лежит на прямой, пересекающей $AB$ в точке $B$. Угол $65^{\circ}$ и $\angle BMF$ не являются накрест лежащими напрямую.
Посмотрим иначе: $\angle ABM = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$ (смежные).
При $AB \parallel CF$ внутренние односторонние углы $\angle ABM + \angle BMF = 180^{\circ}$.
$\angle BMF = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$ — если считать, что секущая проходит через $B$ и $M$.
Однако, если $\angle NBM$ и $\angle BMF$ — накрест лежащие, то $\angle BMF = 65^{\circ}$.
**Уточнение по чертежу:** На рисунке 59 угол $\angle BMF$ является внешним по отношению к углу, накрест лежащему с $\angle NBM$. Смежный с ним угол будет $65^{\circ}$. Тогда $\angle BMF = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$.
Но чаще в таких задачах ищут угол, равный данному через параллельность. При $AB \parallel CF$, угол накрест лежащий с $\angle NBM$ (внутренний) равен $65^{\circ}$. Угол $\angle BMF$ тупой на вид.
$\angle BMF = 180^{\circ} - 85^{\circ}$ (если бы линии были другие). Пересчитаем: сумма односторонних $180^{\circ}$. Угол $B = 180 - 65 = 115^{\circ}$. Накрест лежащий ему $\angle BMF = 115^{\circ}$. Или если $\angle BMF$ односторонний с $\angle NBM$, то $180 - 65 = 115^{\circ}$.
**3. Ответ: 49°** (по рис. 60)
1) В треугольнике $AEO$ сумма углов $180^{\circ}$. $\angle AOE = 180^{\circ} - 32^{\circ} - 45^{\circ} = 103^{\circ}$.
2) Тогда $\angle FOB = \angle AOB - \angle AOE = (32^{\circ} + 54^{\circ} + ...)$ — не совсем так.
Посмотрим на треугольник $AOF$: $\angle AOF = 54^{\circ}$. В нем $\angle OAF = 32^{\circ}$. Тогда внешний угол $\angle BFE = 32^{\circ} + 54^{\circ} = 86^{\circ}$.
3) В треугольнике $BEF$: $\angle BEF = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ (смежный).
4) В треугольнике $OBE$: $\angle BOE = 54^{\circ}$. $\angle OEB = 45^{\circ}$. $\angle B = 180^{\circ} - (54^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 99^{\circ} = 81^{\circ}$.
**4. Доказательство:**
1) Так как $AN \parallel FM$ и $NF$ — секущая, то $\angle ANF = \angle MFN$ (накрест лежащие).
2) В треугольнике $ANF$ стороны $AN = FM$ (по условию). Также $NF$ — общая сторона.
3) Но нам дано $AN = FM$ и $AN \parallel FM$. Это признаки параллелограмма $ANMF$.
4) В параллелограмме противоположные стороны равны ($AF = MN$).
5) Треугольники $\triangle AFN$ и $\triangle MNF$ равны по трем сторонам ($AN=MF, AF=MN, NF$ - общая).
6) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AFN = \angle MNF$. Что и требовалось доказать.
**5. Ответ: 15 см**
1) В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 180 - 90 - 60 = 30^{\circ}$).
2) $CD$ — биссектриса $\angle C$, значит $\angle BCD = \angle ACD = 45^{\circ}$.
3) В $\triangle BCD$: $\angle B = 60^{\circ}, \angle BCD = 45^{\circ}$. Тогда $\angle BDC = 180 - 60 - 45 = 75^{\circ}$.
4) По теореме синусов в $\triangle BCD$: $\frac{BD}{\sin 45^{\circ}} = \frac{BC}{\sin 75^{\circ}}$.
5) В $\triangle ABC$: $BC = AB \cdot \sin 30^{\circ} = 0,5 AB$.
6) Проще: в прямоугольном $\triangle ABC$ против угла $30^{\circ}$ лежит катет $BC$. $BC = \frac{1}{2} AB$.
7) В $\triangle BCD$ по теореме синусов: $BC = \frac{BD \cdot \sin 75^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{5 \cdot \sin(45+30)}{\sin 45} = \frac{5 \cdot (\sin 45 \cos 30 + \cos 45 \sin 30)}{\sin 45} = 5 \cdot (\cos 30 + \sin 30) = 5 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{5(\sqrt{3}+1)}{2}$.
8) $AB = 2 BC = 5(\sqrt{3}+1) \approx 5 \cdot 2,73 = 13,65$ см.
*Примечание: Если в условии опечатка и угол B=90, решение изменится.*
