225 Докажите, что если при пересечении двух прямых a и b секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые a и b пересекаются. 226 Даны треугольник ABC и точки M и N такие, что середина отрезка BM совпадает с серединой стороны AC, а середина отрезка CN — с серединой стороны AB. Докажите, что точки M, N и A лежат на одной прямой. 227 Даны прямая a и точка A, не лежащая на ней. С помощью циркуля и линейки через точку A проведите прямую, параллельную прямой a.

225. **Доказательство:** Предположим противное: прямые $a$ и $b$ параллельны ($a ∥ b$). По признаку параллельности прямых, если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Однако по условию задачи накрест лежащие углы не равны. Мы получили противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $a$ и $b$ пересекаются. 226. **Доказательство:** 1. Пусть $O_1$ — середина $AC$. По условию $O_1$ также является серединой $BM$. В четырёхугольнике $ABCM$ диагонали $AC$ и $BM$ точкой пересечения $O_1$ делятся пополам. Значит, $ABCM$ — параллелограмм. Отсюда $AM ∥ BC$ и $AM = BC$. 2. Пусть $O_2$ — середина $AB$. По условию $O_2$ также является серединой $CN$. В четырёхугольнике $ACBN$ диагонали $AB$ и $CN$ точкой пересечения $O_2$ делятся пополам. Значит, $ACBN$ — параллелограмм. Отсюда $AN ∥ BC$ и $AN = BC$. 3. Мы имеем: $AM ∥ BC$ и $AN ∥ BC$. Через точку $A$ можно провести только одну прямую, параллельную $BC$ (аксиома параллельных). Следовательно, точки $M$, $A$ и $N$ лежат на одной прямой. 227. **Алгоритм построения:** 1. Отметим на прямой $a$ две произвольные точки $B$ и $C$. 2. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $BC$. 3. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$. 4. Точку пересечения этих окружностей (с той же стороны от $BC$, что и $A$) обозначим $D$. 5. Проведём прямую через точки $A$ и $D$. Полученная прямая $AD$ будет параллельна прямой $a$, так как $ABCD$ — параллелограмм по построению (противоположные стороны равны).