Катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежит в плоскости α, а угол между плоскостями α и ABC равен 60°. Найдите расстояние от точки B до плоскости α, если AC = 5 см, AB = 13 см.

**Ответ: 6\sqrt{3} см** **Решение:** 1. Найдём катет $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($∠C = 90^∘$) по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ (см). 2. Определим угол между плоскостями. По условию $AC$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как $∠BCA = 90^∘$, то $BC \perp AC$. Пусть $BH$ — перпендикуляр из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда $BH$ — искомое расстояние. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $BC \perp AC$, то и проекция $CH \perp AC$. Следовательно, $∠BCH$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $ABC$. По условию $∠BCH = 60^∘$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$ ($∠BHC = 90^∘$): $BH = BC \cdot \sin(60^∘)$ $BH = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ (см).