Биссектриса ВД делит сторону АС треугольника АВС на отрезки АД = 8 см и СД = 12 см, АВ = 18 см. Чему равен периметр треугольника АВС?

Во всех задачах используется **свойство биссектрисы треугольника**: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника: $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{CD}$. 1. **Ответ: 55 см** Решение: По свойству биссектрисы: $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{CD} \Rightarrow \frac{18}{8} = \frac{BC}{12}$ $BC = \frac{18 \cdot 12}{8} = \frac{216}{8} = 27$ (см). Сторона $AC = AD + CD = 8 + 12 = 20$ (см). Периметр $P = AB + BC + AC = 18 + 27 + 20 = 65$ (см). *Примечание: в расчете допущена опечатка, проверим еще раз: $18+27+20 = 65$.* **Ответ: 65 см** 2. **Ответ: 22 см и 32 см** Решение: Пусть стороны равны $x$ и $y$. Тогда $x + y = 54$. По свойству биссектрисы: $\frac{x}{22} = \frac{y}{32} \Rightarrow y = \frac{32x}{22} = \frac{16x}{11}$. $x + \frac{16x}{11} = 54 \Rightarrow \frac{27x}{11} = 54 \Rightarrow x = \frac{54 \cdot 11}{27} = 22$ (см). $y = 54 - 22 = 32$ (см). 3. **Ответ: 10 см и 20 см** Решение: Третья сторона $AC = P - (AB + BC) = 90 - (20 + 40) = 30$ (см). Пусть биссектриса делит $AC$ на отрезки $x$ и $y$, тогда $x + y = 30$ и $\frac{x}{y} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$. $y = 2x \Rightarrow x + 2x = 30 \Rightarrow 3x = 30 \Rightarrow x = 10$ (см), $y = 20$ (см). 4. **Ответ: 40 см** Решение: Пусть основание $AC = b$, боковые стороны $AB = BC = 6 + 10 = 16$ (см). Биссектриса проведена к боковой стороне $BC$ и делит её на 6 см (от $C$) и 10 см (от $B$). По свойству биссектрисы: $\frac{AC}{6} = \frac{AB}{10} \Rightarrow \frac{b}{6} = \frac{16}{10}$. $b = \frac{16 \cdot 6}{10} = 9,6$ (см). $P = 16 + 16 + 9,6 = 41,6$ (см).