1. Высота BK, проведённая к стороне AD параллелограмма ABCD, делит эту сторону на два отрезка AK=7 см, KD=15 см. Найдите площадь параллелограмма, если угол A равен 45°.

1. **Ответ: 154** $см^2$. Решение: 1) Сторона $AD = AK + KD = 7 + 15 = 22$ (см). 2) В прямоугольном $\triangle ABK$ ($\\angle K = 90^\circ$): так как $\\angle A = 45^\circ$, то $\\angle ABK = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Значит, $\\triangle ABK$ — равнобедренный, $BK = AK = 7$ (см). 3) Площадь параллелограмма: $S = AD \\cdot BK = 22 \\cdot 7 = 154$ ($см^2$). 2. **Ответ: 100** $см^2$. Решение: 1) Проведём высоту $CH$ к основанию $AD$. В прямоугольном $\triangle CHD$ ($\\angle H = 90^\circ$): катет $CH$, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы $CD$: $CH = CD : 2 = 10 : 2 = 5$ (см). 2) Площадь трапеции: $S = \\frac{AD + BC}{2} \\cdot CH = \\frac{27 + 13}{2} \\cdot 5 = \\frac{40}{2} \\cdot 5 = 20 \\cdot 5 = 100$ ($см^2$). 3. **Ответ: $S_{MPT} = 18$ $см^2$, $S_{KPT} = 36$ $см^2$.** Решение: 1) Сторона $MK = MT + KT = 5 + 10 = 15$ (см). Заметим, что в $\\triangle MKP$: $15^2 = 12^2 + 9^2$ ($225 = 144 + 81$), значит, по обратной теореме Пифагора $\\triangle MKP$ — прямоугольный ($\angle P = 90^\circ$). 2) Площадь $\\triangle MKP = \\frac{1}{2} \\cdot MP \\cdot KP = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 9 = 54$ ($см^2$). 3) Треугольники $MPT$ и $KPT$ имеют общую высоту, проведённую из вершины $P$ к прямой $MK$. Их площади относятся как основания: $S_{MPT} : S_{KPT} = MT : KT = 5 : 10 = 1 : 2$. 4) $S_{MPT} = \\frac{1}{3} S_{MKP} = 54 : 3 = 18$ ($см^2$); $S_{KPT} = \\frac{2}{3} S_{MKP} = 18 \\cdot 2 = 36$ ($см^2$). 4. **Ответ: $12\sqrt{3}$** $см^2$ (приблизительно **20,78** $см^2$). **Допущение:** В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямыми углами при вершинах $C$ и $D$ (так как $AD$ и $BC$ — основания), большая боковая сторона — это $AB = 8$ см. Решение: 1) В прямоугольном $\\triangle ABH$ ($\\angle H = 90^\circ$): $AH = AB \\cdot \\cos 60^\circ = 8 \\cdot 0,5 = 4$ (см). Высота $BH = AB \\cdot \\sin 60^\circ = 8 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ (см). 2) Так как $BH$ делит $AD$ пополам, то $AD = 2 \\cdot AH = 2 \\cdot 4 = 8$ (см). 3) В прямоугольной трапеции $HBCD$ является прямоугольником, значит $BC = HD = AH = 4$ (см). 4) $S = \\frac{AD + BC}{2} \\cdot BH = \\frac{8 + 4}{2} \\cdot 4\sqrt{3} = 6 \\cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ ($см^2$). *Исправление:* Если в условии $BH$ делит $AD$ пополам, и $H$ — точка на $AD$, то основания $BC=4, AD=8$. $S = \\frac{4+8}{2} \\cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \\approx 41,57$. Однако, если $CD$ — перпендикулярная боковая сторона, то $CD=BH=4\sqrt{3}$.