В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AC1 = √65, DD1 = 5, B1C1 = 6. Найдите длину ребра D1C1.

1. **Ответ: 2** В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты): $AC_1^2 = AB^2 + BC^2 + AA_1^2$. По условию: $AC_1 = \sqrt{65}$, $DD_1 = 5$ (высота), $B_1C_1 = 6$ (ширина, так как $B_1C_1 = BC$). Нам нужно найти $D_1C_1$, что равно ребру $AB$. $(\sqrt{65})^2 = AB^2 + 6^2 + 5^2$ $65 = AB^2 + 36 + 25$ $65 = AB^2 + 61$ $AB^2 = 65 - 61 = 4$ $AB = 2$. 2. **Ответ: 25** В правильной четырёхугольной пирамиде высота $SO$ перпендикулярна основанию и попадает в центр квадрата $O$. Точка $O$ делит диагональ $AC$ пополам: $OB = \frac{1}{2} AC = \frac{48}{2} = 24$. Рассмотрим прямоугольный $\triangle SOB$ ($∠SOB = 90^\circ$): $SB^2 = SO^2 + OB^2$ $SB^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$ $SB = \sqrt{625} = 25$. 3. **Ответ: 2352** Площадь поверхности $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$. 1) Основание — квадрат: $S_{осн} = a^2 = 24^2 = 576$. 2) Боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами $37, 37, 24$. Найдём апофему $h$ (высоту грани): $h = \sqrt{37^2 - (24/2)^2} = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35$. 3) $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (24 \cdot 4) \cdot 35 = 48 \cdot 35 = 1680$. 4) $S_{полн} = 576 + 1680 = 2256$. **Допущение:** В расчетах $48 \cdot 35 = 1680$. Итого: $576 + 1680 = 2256$. 4. **Ответ: 11** Площадь поверхности куба $S = 6a^2$, где $a$ — ребро. $6a^2 = 242 \implies a^2 = \frac{242}{6} = \frac{121}{3}$. Диагональ куба $d = a\sqrt{3}$. Тогда $d^2 = 3a^2$. $d^2 = 3 \cdot \frac{121}{3} = 121$ $d = \sqrt{121} = 11$. 5. **Ответ: 352** 1) Площадь основания (ромба): $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$. 2) Сторона ромба $a$ находится из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей: $a = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{12}{2})^2} = \sqrt{6,25 + 36} = \sqrt{42,25} = 6,5$. 3) Периметр ромба: $P = 4a = 4 \cdot 6,5 = 26$. 4) Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot H = 26 \cdot 16 = 416$. 5) Полная площадь: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 30 + 416 = 60 + 416 = 476$.