В треугольнике ABC биссектриса AD равна 7 см, AB = 6 см, AC = 8 см. Найдите SABD : SACD

### В2 **Ответ:** $3:4$ **Решение:** Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению их оснований. Проведём высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Тогда: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH$ $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH$ $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{CD}$ По свойству биссектрисы угла треугольника: $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$. $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 3:4$ --- ### В3 **Ответ:** $16$ см **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. Они подобны по двум углам ($\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные, $\angle CBO = \angle ADO$ как накрест лежащие при $BC \parallel AD$). 2. Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$. 3. Значит, $\frac{CO}{AO} = \frac{2}{3}$, откуда $CO = \frac{2}{3} AO$. 4. Так как $AC = AO + CO = 40$ см: $AO + \frac{2}{3} AO = 40$ $\frac{5}{3} AO = 40$ $AO = \frac{40 \cdot 3}{5} = 24$ (см) 5. Найдём $CO$: $CO = 40 - 24 = 16$ (см). 6. Разность: $AO - CO = 24 - 16 = 8$ (см). --- ### С1 **Ответ:** $BD = 6\sqrt{3}$ см; $AC = 6\sqrt{7}$ см; $S_{CDO} = 9\sqrt{3}$ см² **Решение:** 1. В параллелограмме $ABCD$ сумма соседних углов $180^{\circ}$, значит $\angle A = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. 2. В прямоугольном $\triangle ABD$ ($\angle ABD = 90^{\circ}$): $AB = AD \cdot \cos 60^{\circ} = 12 \cdot 0,5 = 6$ (см). $BD = AD \cdot \sin 60^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ (см). 3. В $\triangle ABC$ по теореме косинусов ($BC = AD = 12$, $AB = 6$, $\angle B = 120^{\circ}$): $AC^2 = 6^2 + 12^2 - 2 \cdot 6 \cdot 12 \cdot \cos 120^{\circ} = 36 + 144 - 144 \cdot (-0,5) = 180 + 72 = 252$ $AC = \sqrt{252} = 6\sqrt{7}$ (см). 4. Площадь $S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin 60^{\circ} = 6 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3}$ см². 5. Диагонали делят параллелограмм на 4 равновеликих треугольника: $S_{CDO} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см². --- ### С2 **Ответ:** $P = 24 + 8\sqrt{2}$ см; $S = 32$ см² **Решение:** Пусть $BC = AB = x$ (меньшее основание и перпендикулярная боковая сторона), $CD = 8\sqrt{2}$. 1. Из вершины $C$ опустим высоту $CH = AB = x$. Тогда $HD = AD - BC$. 2. В $\triangle ACD$ ($\angle ACD = 90^{\circ}$ по условию) $CH$ — высота: $CH^2 = AH \cdot HD$. Так как $AH = BC = x$, то $x^2 = x \cdot HD \Rightarrow HD = x$. 3. В $\triangle CHD$ по теореме Пифагора: $x^2 + x^2 = (8\sqrt{2})^2 \Rightarrow 2x^2 = 128 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = 8$ (см). 4. Основания: $BC = 8$ см, $AD = 8 + 8 = 16$ см. Боковые стороны: $AB = 8$ см, $CD = 8\sqrt{2}$ см. 5. $P = 8 + 16 + 8 + 8\sqrt{2} = 32 + 8\sqrt{2}$ (см). 6. $S = \frac{8 + 16}{2} \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96$ (см²).