Дан треугольник ABC с прямым углом C. AC = 16 см, AB = 20 см. Найдите sin A, sin B, cos A, cos B, tg A, tg B.

1. **Ответ:** $\sin A = 0,6$; $\sin B = 0,8$; $\cos A = 0,8$; $\cos B = 0,6$; $\text{tg } A = 0,75$; $\text{tg } B \approx 1,33$. **Решение:** По теореме Пифагора найдём катет $BC$: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$ (см). Используем определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике: $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{20} = 0,6$ $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{16}{20} = 0,8$ $\text{tg } A = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{16} = 0,75$ Так как $\angle A + \angle B = 90^\circ$: $\sin B = \cos A = 0,8$ $\cos B = \sin A = 0,6$ $\text{tg } B = \frac{AC}{BC} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \approx 1,33$ 2. **Ответ:** $\sin \varepsilon = \frac{2\sqrt{10}}{7}$; $\text{tg } \varepsilon = \frac{2\sqrt{10}}{3}$. **Решение:** Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \varepsilon + \cos^2 \varepsilon = 1$: $\sin \varepsilon = \sqrt{1 - \cos^2 \varepsilon} = \sqrt{1 - (\frac{3}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{49}} = \sqrt{\frac{40}{49}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 10}}{7} = \frac{2\sqrt{10}}{7}$. $\text{tg } \varepsilon = \frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon} = \frac{2\sqrt{10}}{7} : \frac{3}{7} = \frac{2\sqrt{10}}{3}$. 3. **Ответ:** $\angle A = 45^\circ$; $\angle B = 45^\circ$; $\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $\text{tg } A = 1$; $\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $\text{tg } B = 1$. **Решение:** Если $\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\angle A = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Для угла $45^\circ$ значения функций: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\text{tg } 45^\circ = 1$ Так как $\angle A = \angle B$, значения всех тригонометрических функций для них будут одинаковыми.