Решение задач по теме «Перпендикулярность в пространстве»

**1. Ответ: 12 см** Пусть $h$ — расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ (перпендикуляр), $x$ и $y$ — длины проекций наклонных $AB$ и $AC$ соответственно. По условию $x : y = 16 : 9$, тогда $x = 16k$, $y = 9k$. По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных наклонными, их проекциями и перпендикуляром: 1) $h^2 = AB^2 - x^2 = 20^2 - (16k)^2 = 400 - 256k^2$ 2) $h^2 = AC^2 - y^2 = 15^2 - (9k)^2 = 225 - 81k^2$ Приравняем выражения для $h^2$: $400 - 256k^2 = 225 - 81k^2$ $175 = 175k^2$ $k^2 = 1 \Rightarrow k = 1$ Подставим $k$ в любое уравнение для $h$: $h^2 = 225 - 81 \cdot 1^2 = 144$ $h = \sqrt{144} = 12$ (см). **2. Ответ: 8 см** Расстояние между параллельными плоскостями равно длине перпендикуляра между ними. Пусть $h = 4\sqrt{2}$ см. Отрезок $AB$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где один катет — это перпендикуляр к плоскости ($h$), а угол между $AB$ и проекцией равен $45^\circ$. В прямоугольном треугольнике: $AB = \frac{h}{\sin 45^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 8$ (см). **3. Ответ: 10 см** 1) Найдём сторону квадрата $ABCD$: $a = \sqrt{S} = \sqrt{36} = 6$ (см). 2) Найдём диагональ квадрата $AC$ по формуле $d = a\sqrt{2}$: $AC = 6\sqrt{2}$ см. 3) Так как $KA \perp (ABC)$, то $KA \perp AC$. Треугольник $KAC$ — прямоугольный. По теореме Пифагора: $KC = \sqrt{KA^2 + AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 \cdot 7 + 36 \cdot 2} = \sqrt{28 + 72} = \sqrt{100} = 10$ (см).