2 вариант. 1. Треугольники ABC и A1B1C1 подобны, причем сторонам AB и BC соответствуют стороны A1B1 и B1C1. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если AB = 24 см, BC = 36 см, A1B1 = 48 см, A1C1 = 40 см.

**Ответ: 1. $A_1B_1 = 48\text{ см}, B_1C_1 = 72\text{ см}, AC = 20\text{ см}$; 2. $BD = 22,5\text{ см}$; 3. $KO = 12\text{ см}$; 4. $AC = 99\text{ см}$; 5. $S_{AOD} = 675\text{ см}^2$** **1.** Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны ($ABC \sim A_1B_1C_1$). Коэффициент подобия $k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{48}{24} = 2$. $B_1C_1 = BC \cdot k = 36 \cdot 2 = 72\text{ см}$. $AC = \frac{A_1C_1}{k} = \frac{40}{2} = 20\text{ см}$. **2.** По свойству биссектрисы угла треугольника: $\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}$. $\frac{15}{BD} = \frac{18}{27} \Rightarrow \frac{15}{BD} = \frac{2}{3}$. $BD = \frac{15 \cdot 3}{2} = 22,5\text{ см}$. **3.** Так как $PK \parallel NM$, то по теореме Фалеса (или подобию треугольников $OPK$ и $ONM$): $\frac{KO}{MO} = \frac{PO}{NO}$. Пусть $KO = x$, тогда $MO = MK + x = 30 + x$. $NO = NP + PO = 40 + 16 = 56\text{ см}$. $\frac{x}{30 + x} = \frac{16}{56} \Rightarrow \frac{x}{30 + x} = \frac{2}{7}$. $7x = 2(30 + x) \Rightarrow 7x = 60 + 2x \Rightarrow 5x = 60 \Rightarrow x = 12\text{ см}$. **4.** Так как $MK \parallel AC$, то $\triangle BMK \sim \triangle BCA$ по двум углам. Из подобия: $\frac{MK}{AC} = \frac{BM}{BC}$. По условию $BM : MC = 2 : 9$, значит $BC = BM + MC$, что соответствует $2 + 9 = 11$ частям. Тогда $\frac{BM}{BC} = \frac{2}{11}$. $\frac{18}{AC} = \frac{2}{11} \Rightarrow AC = \frac{18 \cdot 11}{2} = 9 \cdot 11 = 99\text{ см}$. **5.** При пересечении диагоналей трапеции образуются подобные треугольники $\triangle AOD \sim \triangle COB$ (по двум углам, так как $\angle OAD = \angle OCB$ и $\angle ODA = \angle OBC$ как накрест лежащие). Коэффициент подобия $k = \frac{AD}{BC} = \frac{36}{12} = 3$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2 = 3^2 = 9$. $S_{AOD} = 9 \cdot S_{BOC} = 9 \cdot 75 = 675\text{ см}^2$.