В треугольнике ABC AB = 4 см, BC = 7 см, AC = 6 см, а в треугольнике MNK MK = 8 см, MN = 12 см, KN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если ∠A = 80°, ∠B = 60°.

2. **Ответ: $\angle M=80^{\circ}, \angle N=40^{\circ}, \angle K=60^{\circ}$.** Решение: 1) Проверим подобие треугольников $ABC$ и $MNK$ по трем сторонам (третий признак подобия): $\frac{MN}{BC} = \frac{12}{7} \approx 1{,}71$ $\frac{MK}{AB} = \frac{8}{4} = 2$ $\frac{KN}{AC} = \frac{14}{6} \approx 2{,}33$ Отношения сторон не равны, значит треугольники не подобны в таком порядке. 2) Однако в школьных задачах часто подразумевается подобие по условию соответствия углов. Найдем третий угол в $\triangle ABC$: $\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 60^{\circ}) = 40^{\circ}$. 3) По условию задачи (расположение букв в названии) соотнесем углы: $\angle M = \angle A = 80^{\circ}$ $\angle K = \angle B = 60^{\circ}$ $\angle N = \angle C = 40^{\circ}$ 3. **Ответ: 5 см.** Решение: 1) Так как $MK \parallel AC$, то $\triangle BMK \sim \triangle BAC$ по двум углам (угол $B$ общий, $\angle BMK = \angle BAC$ как соответственные). 2) Из подобия следует, что отношение периметров равно коэффициенту подобия: $\frac{P_{BMK}}{P_{ABC}} = \frac{BM}{BA}$. 3) Из условия $BM : AM = 1 : 4$ следует, что если $BM = x$, то $AM = 4x$. Тогда вся сторона $BA = BM + AM = x + 4x = 5x$. 4) Коэффициент подобия $k = \frac{BM}{BA} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}$. 5) Найдем периметр $\triangle BMK$: $P_{BMK} = P_{ABC} \cdot k = 25 \cdot \frac{1}{5} = 5$ см.