17. Один из углов равнобедренной трапеции равен 66°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

17. У равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Если один угол $66^\circ$, то другой угол при этом же основании тоже $66^\circ$. Больший угол равен $180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$. Ответ: 114. 18. Посчитаем катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого является искомым расстоянием. По горизонтали: 5 клеток, по вертикали: 5 клеток. По теореме Пифагора $d = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7,07$. Ответ: $5\sqrt{2}$. 19. 1) Верно. Сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. 2) Неверно. Средняя линия равна полусумме оснований. 3) Неверно. Окружность можно вписать только если суммы противоположных сторон равны. Ответ: 1. 20. Введем замену $t = (x - 4)^2$, где $t \ge 0$. Получим $t^2 - 4t - 21 = 0$. Дискриминант $D = 16 - 4 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$. Корни: $t_1 = \frac{4 + 10}{2} = 7$, $t_2 = \frac{4 - 10}{2} = -3$ (не подходит, так как $t \ge 0$). Возвращаемся к замене: $(x - 4)^2 = 7$, откуда $x - 4 = \pm\sqrt{7}$. $x_1 = 4 + \sqrt{7}$, $x_2 = 4 - \sqrt{7}$. Ответ: $4 \pm \sqrt{7}$. 21. Пусть $v$ — собственная скорость баржи. Скорость по течению $v+5$, против течения $v-5$. Составим уравнение: $\frac{64}{v+5} + \frac{48}{v-5} = 8$. Разделим на 8: $\frac{8}{v+5} + \frac{6}{v-5} = 1$. $8(v-5) + 6(v+5) = (v+5)(v-5)$. $8v - 40 + 6v + 30 = v^2 - 25$. $14v - 10 = v^2 - 25$. $v^2 - 14v - 15 = 0$. По теореме Виета корни $15$ и $-1$. Скорость не может быть отрицательной. Ответ: 15 км/ч. 22. Упростим функцию: $y = \frac{1}{2}(\frac{x}{2,5} - \frac{2,5}{x} + \frac{x}{2,5} + \frac{2,5}{x}) = \frac{1}{2}(\frac{2x}{2,5}) = \frac{x}{2,5} = 0,4x$. Графиком является прямая $y=0,4x$, проходящая через начало координат. Прямая $y=m$ всегда пересекает эту прямую ровно в одной точке при любых $m$. Ответ: при любых $m$. 23. Расстояние от центра до хорды $AB$ равно 12, до $CD$ равно 9. Пусть $R$ — радиус. Из прямоугольных треугольников: $R^2 = 12^2 + (18/2)^2 = 144 + 81 = 225$. Тогда $R = 15$. Для хорды $CD$: $(CD/2)^2 = R^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$. $CD/2 = 12$, значит $CD = 24$. Ответ: 24. 24. В параллелограмме $ABCD$ диагонали делятся точкой $O$ пополам, т.е. $AO = OC$. Углы $\angle PAO$ и $\angle TCO$ равны как накрест лежащие, $\angle AOP = \angle COT$ как вертикальные. Значит, $\triangle APO = \triangle CTO$ по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, $AP = TC$. Так как $AB = CD$ (стороны параллелограмма), то $BP = AB - AP = CD - TC = DT$. Доказано. 25. Пусть $BH$ — высота, $AK$ — биссектриса. В $\triangle ABH$ биссектриса $AK$ делит сторону $BH$ в отношении $41:40$. По свойству биссектрисы $\frac{AB}{AH} = \frac{41}{40}$. Пусть $AB = 41x$, $AH = 40x$. Из $\triangle ABH$ (прямоугольный): $BH = \sqrt{(41x)^2 - (40x)^2} = \sqrt{1681x^2 - 1600x^2} = \sqrt{81x^2} = 9x$. $\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{9}{41}$. По теореме синусов для $\triangle ABC$: $2R = \frac{BC}{\sin A} = \frac{18}{9/41} = 18 \cdot \frac{41}{9} = 82$. $R = 41$. Ответ: 41.