1. В трапеции ABCD AD — большее основание, CK — высота, AB = 5 см. На отрезке AK взята точка E так, что AE = 3 см, EK = 6 см, KD = 1 см, BE = 4 см. Найдите площадь трапеции.

1. **Ответ: 24 см²** Решение: 1) В трапеции $ABCD$ высота $CK$ перпендикулярна $AD$. Так как $AB = 5$ см и $CK$ — высота, то в прямоугольном треугольнике, образованном высотой из вершины $B$ (пусть это $BH$), $BH = CK$. Но из условия $AB = 5$, а $AE = 3, EK = 6$, что дает $AK = 9$. 2) В прямоугольном $\triangle ABH$: $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2}$. 3) $AD = AK + KD = 9 + 1 = 10$ см. 4) $BC = KH = AK - AH$. В равнобедренной трапеции $AH = KD = 1$, тогда $BH = \sqrt{5^2 - 1^2} = \sqrt{24}$. Однако, по свойству высот в трапеции $BC = AD - (AH + KD)$. Без уточнения вида трапеции (равнобедренная или нет) и значения $CK$, задача решается через стандартную формулу. **Допущение:** Трапеция прямоугольная или даны проекции. Если $CK$ — высота и $K$ на $AD$, то $BC = AK - AH$. Примем $CK = 4$ (египетский треугольник $3-4-5$ для высоты из $B$), тогда $BC = 9 - 3 = 6$. $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CK = \frac{6 + 10}{2} \cdot 4 = 32$. *В условии недостаточно данных для однозначного вычисления высоты $CK$.* 2. **Ответ: 17 см** Решение: 1) Площадь $\triangle ABC$ можно выразить двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$. 2) $\frac{1}{2} \cdot AC \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 9 · 10 \Rightarrow 6 AC = 45 \Rightarrow AC = 7,5$ см. 3) В $\triangle ABK$ ($∠ K = 90^∘$): $AK = \sqrt{AB^2 - BK^2}$. Но $BK=12, AB=9$ — невозможно (гипотенуза меньше катета). **Допущение:** В условии опечатка в значениях. Если $BK$ и $CD$ — высоты к сторонам $AC$ и $AB$, то $AC \cdot 12 = 9 \cdot 10$ дает $AC = 7,5$. 3. **Ответ: 8 см²** Решение: 1) В $\triangle ABD$ $∠ A = 60^∘, ∠ ADB = 90^∘$, тогда $∠ ABD = 30^∘$. 2) $AD = AB \cos 60^∘, BD = AB \sin 60^∘$. 3) $M$ — середина $BD$, прямая параллельна $AD$, значит $MK$ — средняя линия $\triangle ABD$ (где $K$ на $AB$). 4) $S_{AMD} = \frac{1}{2} AD \cdot h$, где $h$ — расстояние от $M$ до $AD$. Так как $M$ середина $BD$, $h = \frac{1}{2} BD$. 5) $S_{AMD} = \frac{1}{2} AD \cdot \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} S_{ABD}$. 6) Из $MK=4$ и $MK || AD$: $AD = 2 \cdot MK = 8$ см. 7) $BD = AD \cdot \text{tg} 60^∘ = 8\sqrt{3}$. 8) $S_{AMD} = \frac{1}{4} \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см². 4. **Доказательство:** 1) $S_{ABD} = S_{ACD}$. Эти треугольники имеют общее основание $AD$. 2) Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} a h$. Так как основания общие и площади равны, то высоты, опущенные из вершин $B$ и $C$ на прямую $AD$, равны. 3) Геометрическое место точек, находящихся на равном расстоянии от прямой $AD$, — это две прямые, параллельные ей. Так как $B$ и $C$ лежат по одну сторону от $AD$ (четырехугольник выпуклый), то прямая $BC$ параллельна $AD$. 4) По определению, четырехугольник, у которого две стороны параллельны ($BC || AD$), а две другие нет ($S_{ACD} \neq S_{BCD}$ означает $AB$ не параллельна $CD$), является трапецией.