7.47 а) sin π/4 + cos(-3π/4) - 2sin(-π/6) + 2cos(5π/6); б) 3cos π/3 - 2sin 2π/3 + 7cos(-2π/3) - sin(-5π/4); в) 3cos 7π/4 + 2sin 3π/4 - sin(-9π/4) + 7cos 13π/2; г) 2sin(-5π/6) + 11cos(-7π/3) + sin 7π/6 - 8cos 2π/3

Ответ: а) $1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3}$ б) $5,5 - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ в) $5\sqrt{2} + 2$ г) $4,5 - \sqrt{3}$ Решение: Воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций, свойствами четности ($\cos(-x) = \cos x$, $\sin(-x) = -\sin x$) и формулами приведения. а) $\sin \frac{\pi}{4} + \cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right) - 2 \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2 \cos \frac{5\pi}{6} =$ $= \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos \frac{3\pi}{4} + 2 \sin \frac{\pi}{6} + 2 \cos \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) =$ $= \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3}$. **Допущение**: в пункте а) в учебниках часто опечатка в знаках или значениях, перепроверим первый член: $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $\cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Они сокращаются. Итого: $1 - \sqrt{3}$. б) $3 \cos \frac{\pi}{3} - 2 \sin \frac{2\pi}{3} + 7 \cos \left(-\frac{2\pi}{3}\right) - \sin \left(-\frac{5\pi}{4}\right) =$ $= 3 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 7 \cos \frac{2\pi}{3} + \sin \frac{5\pi}{4} =$ $= 1,5 - \sqrt{3} + 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1,5 - 3,5 - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -2 - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$. в) $3 \cos \frac{7\pi}{4} + 2 \sin \frac{3\pi}{4} - \sin \left(-\frac{9\pi}{4}\right) + 7 \cos \frac{13\pi}{2} =$ $= 3 \cos \left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) + 2 \sin \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) + \sin \left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) + 7 \cos \left(6\pi + \frac{\pi}{2}\right) =$ $= 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 7 \cdot 0 = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$. г) $2 \sin \left(-\frac{5\pi}{6}\right) + 11 \cos \left(-\frac{7\pi}{3}\right) + \sin \frac{7\pi}{6} - 8 \cos \frac{2\pi}{3} =$ $= -2 \sin \frac{5\pi}{6} + 11 \cos \frac{7\pi}{3} + \sin \left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) - 8 \cos \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) =$ $= -2 \cdot \frac{1}{2} + 11 \cos \left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) - \sin \frac{\pi}{6} + 8 \cos \frac{\pi}{6} =$ $= -1 + 11 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -1 + 5,5 - 0,5 + 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3}$.