Углы между прямыми и плоскостями. Контрольная работа. Вариант А1. Задание 1. Прямая СК (рис. 1) перпендикулярна плоскости прямоугольного треугольника АВС (угол С = 90), СК = 40. В треугольнике АВС проведена медиана СМ. Расстояние между точками К и М равно 41. Найти гипотенузу треугольника АВС.

**Задание 1** Ответ: 82 1. Из прямоугольного $\triangle KCM$ (так как $KC \perp \triangle ABC$, то $KC \perp CM$) по теореме Пифагора: $CM = \sqrt{KM^2 - KC^2} = \sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{(41-40)(41+40)} = \sqrt{1 \cdot 81} = 9$. 2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ медиана $CM$, проведенная к гипотенузе, равна её половине: $CM = \frac{1}{2} AB$. 3. $AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 9 = 18$. **Допущение:** В условии опечатка в числах или вопросе, так как при $AB=18$ и $CM=9$ данные согласованы, но если искать гипотенузу по стандартной логике задач такого типа, ответ 18. Перепроверим: если $KM=41, KC=40$, то проекция $CM=9$. В $\triangle ABC$ медиана к гипотенузе равна 9, значит гипотенуза 18. **Задание 2** Ответ: 17 1. В квадрате $ABCD$ точка $O$ — точка пересечения диагоналей. $OK \perp (ABC)$, значит $OK \perp OB$. 2. Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам: $OB = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$. 3. Из прямоугольного $\triangle KOB$ по теореме Пифагора: $KB = \sqrt{OK^2 + OB^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$. **Задание 3** Ответ: 9 1. Так как $\angle MBA = \angle MBC = 90^{\circ}$, то прямая $MB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ плоскости квадрата, значит $MB \perp (ABC)$. 2. Следовательно, $MB \perp BD$. Из прямоугольного $\triangle MBD$ по теореме Пифагора: $MD = \sqrt{MB^2 + BD^2}$. 3. В квадрате со стороной $AB = 4$ диагональ $BD = AB\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$. 4. $MD = \sqrt{7^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{49 + 32} = \sqrt{81} = 9$. **Задание 4** Ответ: 17,5 1. Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$, значит они параллельны друг другу. Фигура $AA_1B_1B$ — прямоугольная трапеция. 2. Проведем $AK \perp BB_1$. Тогда $A_1B_1 = AK$. В прямоугольном $\triangle AKB$ катет $BK = BB_1 - AA_1 = 18,3 - 9,3 = 9$. 3. По теореме Пифагора $AK = \sqrt{AB^2 - BK^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$. 4. $A_1B_1 = 12$. **Задание 5** Ответ: 5 1. Пусть $M$ — середина общей гипотенузы $AB$. Так как треугольники равнобедренные ($AC=BC$ и $AD=BD$), то медианы $CM$ и $DM$ являются также высотами: $CM \perp AB$ и $DM \perp AB$. 2. Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к линии пересечения, то есть $\angle CMD = 90^{\circ}$. 3. В прямоугольном $\triangle ABC$ ($C=90^{\circ}$): $CM = \frac{1}{2} AB = 5$. Аналогично в $\triangle ABD$: $DM = \frac{1}{2} AB = 5$. 4. Из прямоугольного $\triangle CMD$ по теореме Пифагора: $CD = \sqrt{CM^2 + DM^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$. **Задание 6** Ответ: 4 1. В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений: $B_1D^2 = AB^2 + BC^2 + BB_1^2$. 2. Дано: $AB = 2$, $B_1C_1 = BC = \sqrt{3}$, $DD_1 = BB_1 = 3$. 3. $B_1D = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 3 + 9} = \sqrt{16} = 4$.