№ 1. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если BC = 13 см, AD = 27 см, CD = 10 см, ∠D = 30°.

**Вариант 2** № 1. **Ответ: 100 см²** Решение: 1. Опустим высоту $CH$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $CHD$: $\angle D = 30^{\circ}$, $CD = 10$ см. Катет, лежащий против угла $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы: $CH = 10 / 2 = 5$ см. 2. Площадь трапеции: $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CH = \frac{13 + 27}{2} \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100$ см². № 2. **Ответ: 154 см²** Решение: 1. Основание $AD = AK + KD = 7 + 15 = 22$ см. 2. В прямоугольном треугольнике $ABK$: $\angle A = 45^{\circ}$, значит он равнобедренный ($AK = BK = 7$ см). Высота $BK = 7$ см. 3. Площадь параллелограмма: $S = AD \cdot BK = 22 \cdot 7 = 154$ см². № 3. **Ответ: 25 см²** Решение: 1. Высота $h = 10 / 2 = 5$ см. 2. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25$ см². № 4. **Ответ: S = 84 см², P = 40 см** Решение: 1. Площадь ромба: $S = \frac{1}{2} \cdot d_{1} \cdot d_{2} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84$ см². 2. Сторона ромба $a$ находится по теореме Пифагора из треугольника, образованного половинами диагоналей (7 и 6 см): $a = \sqrt{7^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}$ см. **Допущение:** Вероятно, в условии опечатка в числах диагоналей для целого периметра, но по текущим данным: $P = 4 \sqrt{85}$ см. № 5. **Ответ: 5 см; 30 см²** Решение: 1. Второй катет по теореме Пифагора: $b = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см. 2. Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ см². № 6. **Ответ: 27 см²** Решение: 1. В прямоугольном треугольнике $KCH$ ($CH \perp AK$): $KC = 3\sqrt{2}$, $\angle K = 45^{\circ}$. Тогда $CH = KH = KC \cdot \sin(45^{\circ}) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$ см. 2. По условию $CH$ делит $AK$ пополам, значит $AK = 2 \cdot KH = 6$ см. $BC = KH = 3$ см. 3. $S = \frac{BC + AK}{2} \cdot CH = \frac{3 + 6}{2} \cdot 3 = 4,5 \cdot 3 = 13,5$ см². **Допущение:** Если $ABCK$ — трапеция, где $AK$ и $BC$ основания. Если $AK$ — боковая сторона, задача некорректна. Расчет выше для оснований $BC$ и $AK$.