Два маляра могут покрасить стены за 12 ч. Сначала приступил к работе один маляр, и, когда он выполнил половину работы, его сменил второй. Вся работа была выполнена за 25 ч. За сколько часов каждый маляр может один выполнить всю работу?

**Ответ: 20 часов и 30 часов.** **Решение:** Пусть вся работа (покраска стен) равна $1$. Скорость работы (производительность) первого маляра — $x$, второго — $y$. 1. Когда они работают вместе, они красят стены за $12$ часов. Составим уравнение: $x + y = \frac{1}{12}$ 2. Сначала один маляр выполнил половину работы ($\frac{1}{2}$), затем второй — вторую половину. На это ушло $25$ часов. Время работы первого $\frac{1}{2x}$, второго $\frac{1}{2y}$: $\frac{1}{2x} + \frac{1}{2y} = 25$ 3. Решим систему уравнений. Из первого выразим $y$: $y = \frac{1}{12} - x$ 4. Подставим во второе уравнение (умножим его на $2$, чтобы избавиться от дроби в числителе): $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 50$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{1}{12} - x} = 50$ $\frac{\frac{1}{12} - x + x}{x(\frac{1}{12} - x)} = 50$ $\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{12}x - x^2} = 50$ $1 = 50(\frac{1}{12}x - x^2) \cdot 12$ $1 = 600(\frac{1}{12}x - x^2)$ $1 = 50x - 600x^2$ $600x^2 - 50x + 1 = 0$ 5. Находим дискриминант $D = 50^2 - 4 \cdot 600 \cdot 1 = 2500 - 2400 = 100$. $x_1 = \frac{50 + 10}{1200} = \frac{60}{1200} = \frac{1}{20}$ $x_2 = \frac{50 - 10}{1200} = \frac{40}{1200} = \frac{1}{30}$ Если производительность одного $\frac{1}{20}$ (справится за $20$ часов), то второго $\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5-3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$ (справится за $30$ часов).