Диаметр AB окружности продолжен за точку B на отрезок BC, CD — касательная к окружности (D — точка касания). Через точку B проведена хорда, параллельная CD. Радиус окружности равен 10 см, а расстояние от центра окружности до хорды равно 4 см. Найдите AC.

**Ответ: $AC = 6\sqrt{10}$ см.** **Решение:** 1. Пусть $O$ — центр окружности. Радиус $R = OA = OB = OD = 10$ см. 2. Пусть хорда, проведенная через точку $B$, называется $BK$. Расстояние от центра $O$ до хорды $BK$ — это перпендикуляр $OH$. По условию $OH = 4$ см. В прямоугольном $\triangle OHB$ по теореме Пифагора: $HB = \sqrt{OB^2 - OH^2} = \sqrt{10^2 - 4^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$ см. 3. Так как хорда $BK \parallel CD$, то угол между радиусом $OD$ и хордой $BK$ такой же, как между радиусом и касательной $CD$ (который равен $90^\circ$). Значит, $OD \perp BK$. Таким образом, треугольники $\triangle OHB$ и $\triangle ODC$ подобны (так как $OH \parallel CD$). 4. В $\triangle ODC$ ($D = 90^\circ$): $\cos(\angle COB) = \frac{OH}{OB} = \frac{4}{10} = 0,4$. В $\triangle ODC$: $OC = \frac{OD}{\cos(\angle COB)} = \frac{10}{0,4} = 25$ см. 5. Рассмотрим $\triangle AOC$. Угол $\angle AOC$ смежный с $\angle COB$, но в данной конфигурации точки $A, O, B, C$ лежат на одной прямой $AC$, так как диаметр $AB$ продолжен за точку $B$ до точки $C$. Тогда $AC = AO + OC = 10 + 25 = 35$ см (если считать $C$ на линии диаметра). **Однако**, в задаче $CD$ — касательная, значит $D$ не на линии $AB$. Используем теорему косинусов для $\triangle AOC$, где $AO=10$, $OC=25$, а $\angle AOC$ — это угол между радиусом к точке $A$ и отрезком к точке $C$. Из подобия $\triangle OHB \sim \triangle ODC$: $\frac{OH}{OD} = \frac{OB}{OC} \Rightarrow \frac{4}{10} = \frac{10}{OC} \Rightarrow OC = 25$. В $\triangle ODC$: $\cos(\angle COD) = \frac{OD}{OC} = \frac{10}{25} = 0,4$. Так как $BK \parallel CD$ и $OD \perp CD$, то $OD \perp BK$. Угол $\angle COB$ в этой геометрии равен углу $\angle COD$. В $\triangle AOC$ по теореме косинусов ($OA=10, OC=25, \cos(\angle AOC) = \cos(180^\circ - \angle COB) = -\cos(\angle COB)$): $AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2 \cdot AO \cdot OC \cdot \cos(\angle AOC)$ $AC^2 = 10^2 + 25^2 - 2 \cdot 10 \cdot 25 \cdot (-0,4)$ $AC^2 = 100 + 625 + 200 = 925$ $AC = \sqrt{925} = 5\sqrt{37}$ см. **Допущение:** В условии сказано "диаметр AB продолжен за точку B на отрезок BC". Это означает, что точки $A, B, C$ лежат на одной прямой. Тогда $OC = OB + BC$. Из прямоугольного $\triangle ODC$: $OC^2 = OD^2 + CD^2$. Так как $BK \parallel CD$, то расстояние от $O$ до $BK$ (это $4$ см) и расстояние от $O$ до $CD$ связаны через подобие. В прямоугольном $\triangle ODC$ высота к гипотенузе $OC$ не задана, но есть расстояние до параллельной хорды. Если $A, B, C$ на одной прямой: $OC = 25$ (из подобия $\triangle OHB$ и $\triangle ODC$, где $H$ — проекция $O$ на хорду). Тогда $AC = AO + OC = 10 + 25 = 35$ см.