Решите уравнение: cos x - cos 2x - sin 3x = 0

**Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$** **Решение:** 1. Используем формулу разности косинусов для $\cos x - \cos 2x$: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$ $\cos x - \cos 2x = -2 \sin \frac{x + 2x}{2} \sin \frac{x - 2x}{2} = -2 \sin \frac{3x}{2} \sin (-\frac{x}{2}) = 2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}$ 2. Теперь уравнение выглядит так: $2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} - \sin 3x = 0$ 3. Применим формулу синуса двойного угла к $\sin 3x$, представив его как $\sin (2 \cdot \frac{3x}{2})$: $\sin 3x = 2 \sin \frac{3x}{2} \cos \frac{3x}{2}$ 4. Подставим в уравнение: $2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{3x}{2} \cos \frac{3x}{2} = 0$ 5. Вынесем общий множитель за скобки: $2 \sin \frac{3x}{2} (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{3x}{2}) = 0$ 6. Разделим на два случая: а) $\sin \frac{3x}{2} = 0$ $\frac{3x}{2} = \pi k$ $x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$ б) $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{3x}{2} = 0$ Заменим косинус на синус по формуле приведения: $\cos \alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha)$ $\sin \frac{x}{2} - \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2}) = 0$ Применим формулу разности синусов: $2 \sin \frac{\frac{x}{2} - (\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2})}{2} \cos \frac{\frac{x}{2} + (\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2})}{2} = 0$ $2 \sin \frac{2x - \frac{\pi}{2}}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{2} - x}{2} = 0$ $2 \sin (x - \frac{\pi}{4}) \cos (\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = 0$ 7. Из подпункта (б) получаем: $x - \frac{\pi}{4} = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ $\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow -\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi k$ (что эквивалентно $\frac{3\pi}{2} + 2\pi n$) *Заметим, что после упрощения первоначального выражения можно также прийти к ответу через замену или другие тригонометрические преобразования. Объединяя корни, получаем общий вид.*