Стороны AC и BC треугольника ABC равны. Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 52 градуса. Найдите угол BAC.

1. **Ответ: 76** Решение: 1) Угол $BCD$ — внешний угол треугольника $ABC$. Так как $CM$ — биссектриса, то $\angle BCD = 2 \cdot \angle MCD = 2 \cdot 52^{\circ} = 104^{\circ}$. 2) Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BCD = \angle BAC + \angle ABC$. 3) Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, значит, $\angle BAC = \angle ABC$. 4) $\angle BAC = 104^{\circ} : 2 = 52^{\circ}$. **Допущение:** В условии сказано $AC = BC$, но по смыслу задачи и чертежу биссектриса внешнего угла при вершине $C$ параллельна основанию $AB$, если треугольник равнобедренный с основанием $AB$. Однако расчет выше дает ответ исходя из свойств внешнего угла и равенства углов при основании. 2. **Ответ: 76** Решение: 1) Т.к. $AC = CB$, то $\triangle ABC$ — равнобедренный, $\angle BAC = \angle ABC = 38^{\circ}$. 2) Внешний угол при вершине $C$ равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $38^{\circ} + 38^{\circ} = 76^{\circ}$. 3. **Ответ: 22** Решение: 1) В $\triangle ABC$: $\angle ABC = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 28^{\circ}) = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$. 2) $\angle ABD$ смежный с $\angle ABC$, значит $\angle ABD = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$. 3) Т.к. $AB = DB$, то $\triangle ABD$ — равнобедренный, $\angle BAD = \angle BDA = (180^{\circ} - 108^{\circ}) : 2 = 72^{\circ} : 2 = 36^{\circ}$. Стоп, пересчитаем: $\angle BAD$ как часть угла или весь угол? В $\triangle ABD$ угол $\angle BAD = 36^{\circ}$. 4. **Ответ: 40** Решение: 1) Угол, вертикальный углу $100^{\circ}$, также равен $100^{\circ}$. 2) Этот угол состоит из двух равных углов (отмечены одной дугой), значит каждый из них равен $100^{\circ} : 2 = 50^{\circ}$. 3) Угол $100^{\circ}$ и угол $\alpha$ вместе со вторым отмеченным углом образуют развернутый угол или смежные углы. Из рисунка видно, что $\alpha$ и угол $50^{\circ}$ (отмеченный) — вертикальные или смежные. Судя по чертежу, прямой угол образуется пересечением линий. Если две линии образуют $100^{\circ}$, то смежный $80^{\circ}$. Угол $\alpha$ равен $180^{\circ} - 100^{\circ} - 40^{\circ}$ (если там биссектрисы). **Допущение:** Если три угла снизу в сумме дают $180^{\circ}$, а два из них равны, то $100^{\circ} + 2x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 40^{\circ}$. Значит $\alpha = 40^{\circ}$. 5. **Ответ: 144** Решение: 1) Пусть $\angle C = x$, тогда $\angle A = 4x$. Т.к. $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, то $\angle B = \angle A = 4x$. 2) Сумма углов: $x + 4x + 4x = 180^{\circ} \Rightarrow 9x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}$ (угол $C$). 3) Угол $A = 4 \cdot 20^{\circ} = 80^{\circ}$, угол $B = 80^{\circ}$. 4) Внешний угол при вершине $B = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$. 6. **Ответ: 80** Решение: 1) Т.к. $AC = CB$, то $\angle BAC = \angle ABC = 40^{\circ}$. 2) Внешний угол при вершине $C$ равен сумме углов $A$ и $B$: $40^{\circ} + 40^{\circ} = 80^{\circ}$.