Через вершину C квадрата ABCD проведена прямая MC, перпендикулярная плоскости квадрата. Вычислите расстояние от точки M до прямой BD, если MC = 1 см, CD = 4 см.

**Ответ: 3 см** **Решение:** 1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. По свойству квадрата, диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам. 2. Так как $MC \perp (ABC)$, то по теореме о трех перпендикулярах, поскольку $CO \perp BD$ (проекция), то и наклонная $MO \perp BD$. Значит, расстояние от точки $M$ до прямой $BD$ — это длина отрезка $MO$. 3. Найдем диагональ квадрата $AC$ по формуле $a\sqrt{2}$, где $a$ — сторона квадрата: $AC = CD \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. 4. Найдем половину диагонали $CO$: $CO = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MCO$ (угол $C = 90^\circ$, так как $MC$ перпендикулярна плоскости). По теореме Пифагора: $MO^2 = MC^2 + CO^2$ $MO^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9$ $MO = \sqrt{9} = 3$ см.