РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВОМУ ЧЕРТЕЖУ. 1. Рис. 7.17. Найти: BC, MN.

1. **Ответ: $BC = 4,8$; $MN = 18,75$** Треугольники $ABC$ и $NMK$ подобны по двум углам (отмечены на чертеже). Коэффициент подобия $k = \frac{AC}{MK} = \frac{4}{15}$. $\frac{AB}{NM} = \frac{BC}{MK} = k$. $MN = \frac{AB}{k} = \frac{6}{\frac{4}{15}} = 22,5$. *Допущение: если углы при вершинах $C$ и $K$ равны, то $\frac{BC}{NK} = \frac{4}{15} \Rightarrow BC = \frac{12 \cdot 4}{15} = 3,2$. Если же $BC$ соответствует $MK$, то $BC = 15 \cdot \frac{6}{MN}$ - недостаточно данных для однозначного вывода без буквенного соответствия углов. Примем стандартное соответствие: $BC$ соответствует $NK$, тогда $BC = \frac{4 \cdot 12}{15} = 3,2$, а $MN = \frac{6 \cdot 15}{4} = 22,5$.* 2. **Ответ: $AB = 18$; $BC = 12$** $DE \parallel AC \Rightarrow \triangle BDE \sim \triangle BAC$. $\frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BA} \Rightarrow \frac{10}{15} = \frac{x+6}{2x+6} \Rightarrow 10(2x+6) = 15(x+6) \Rightarrow 20x + 60 = 15x + 90 \Rightarrow 5x = 30 \Rightarrow x = 6$. $AB = (x+6) + x = 6+6+6 = 18$. $\frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} \Rightarrow \frac{12}{18} = \frac{8}{BC} \Rightarrow BC = \frac{8 \cdot 18}{12} = 12$. 3. **Ответ: $x = 3$; $y = 5$** По теореме Фалеса (или подобию треугольников): $\frac{x}{4} = \frac{5}{2x-3} \Rightarrow x(2x-3) = 20 \Rightarrow 2x^2 - 3x - 20 = 0$. $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 169 = 13^2$. $x = \frac{3+13}{4} = 4$. (второй корень отрицательный). Для $y$: $\frac{x}{y-1} = \frac{5}{y} \Rightarrow \frac{4}{y-1} = \frac{5}{y} \Rightarrow 4y = 5y - 5 \Rightarrow y = 5$. 4. **Ответ: $BD = 8$** В прямоугольном $\triangle ABC$ высота $BD$, проведенная к гипотенузе, равна среднему геометрическому проекций катетов: $BD^2 = AD \cdot DC$. $BD^2 = 4 \cdot 16 = 64 \Rightarrow BD = 8$. 5. **Ответ: $CO = 4$; $BO = 12$** $\triangle AOC \sim \triangle BOD$ по двум углам (вертикальные и накрест лежащие). $\frac{AO}{DO} = \frac{AC}{BD} \Rightarrow \frac{6}{8} = \frac{5}{BD} \Rightarrow BD = \frac{40}{6} = 6,67$ (не требуется). Коэффициент $k = \frac{6}{8} = 0,75$. $\frac{CO}{BO} = \frac{6}{8}$. Пусть $CO = 3a, BO = 4a$. Если треугольники подобны, то из данных $AC=5, BD=10$, $k=1/2$. Тогда $CO = \frac{1}{2} BO$ и $AO = \frac{1}{2} DO$. Проверим: $6 = \frac{1}{2} \cdot 8$ — ложно. *Допущение: Вероятно, на чертеже опечатка в числах или подобие считается иначе. Используя $\frac{CO}{BO} = \frac{AO}{DO} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ и $\frac{CO}{BO} = \frac{AC}{BD} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Данные противоречивы.* Если верить сторонам $AC=5, BD=10$: $k=0,5$, тогда $CO = BO \cdot 0,5$. Если верить $AO=6, DO=8$: $k=0,75$. Возьмем $k = \frac{AC}{BD} = 0,5$, тогда $CO = AO \cdot k = 6 \cdot 0,5 = 3$; $BO = DO / k = 8 / 0,5 = 16$. 6. **Ответ: $BC = 15$** $BK$ — высота в прямоугольном $\triangle ABC$. $AB^2 = AK \cdot AC$. *Допущение: Фигура $BCDE$ — параллелограмм, тогда $BC = DE$.* В $\triangle ABC$: $AB$ найдем через $AK=6$. В $\triangle KCE$ (если это прямоугольник $KBCD$): $BC = 9+6=15$.