РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВОМУ ЧЕРТЕЖУ. 1. Рис. 7.17. Найти: BC, MN.

**1. Рис. 7.17.** Треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны по двум углам (углы при основаниях равны). Коэффициент подобия $k = \frac{NK}{BC} = \frac{12}{6} = 2$. Тогда: $BC = \frac{NK}{2} = \frac{12}{2} = 6$. Но на чертеже $BC$ и $NK$ — боковые стороны. Из подобия $\frac{MN}{AB} = \frac{MK}{AC} = \frac{NK}{BC}$. **Ответ: BC = 6, MN = 8.** **2. Рис. 7.18.** $\triangle DBE \sim \triangle ABC$ (по 2 углам, так как $DE \parallel AC$). $\frac{DB}{AB} = \frac{DE}{AC} \Rightarrow \frac{x+6}{(x+6)+x} = \frac{10}{15}$ $\frac{x+6}{2x+6} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3x + 18 = 4x + 12 \Rightarrow x = 6$. $AB = (x+6) + x = 6+6+6 = 18$. По свойству параллельных прямых: $\frac{BE}{BC} = \frac{10}{15} \Rightarrow \frac{8}{BC} = \frac{2}{3} \Rightarrow BC = 12$. **Ответ: AB = 18, BC = 12.** **3. Рис. 7.19.** По теореме Фалеса (или подобию треугольников при параллельных прямых): 1) $\frac{x}{4} = \frac{5}{y-1} \Rightarrow x(y-1) = 20$ 2) $\frac{5}{2x-3} = \frac{y-1}{y} \Rightarrow 5y = (2x-3)(y-1)$ Из первого $y-1 = \frac{20}{x}$. Подставим: $5y = (2x-3) \cdot \frac{20}{x} \Rightarrow 5y = 40 - \frac{60}{x}$. Так как $y = \frac{20}{x} + 1$, то $5(\frac{20}{x} + 1) = 40 - \frac{60}{x} \Rightarrow \frac{100}{x} + 5 = 40 - \frac{60}{x} \Rightarrow \frac{160}{x} = 35 \Rightarrow x = \frac{160}{35} = \frac{32}{7} \approx 4,57$. $y = \frac{20}{32/7} + 1 = \frac{140}{32} + 1 = 4,375 + 1 = 5,375$. **Ответ: x = 4 & 4/7, y = 5,375.** **4. Рис. 7.20.** В прямоугольном треугольнике высота $BD$, проведенная к гипотенузе: $BD^2 = AD \cdot DC$. $BD^2 = 4 \cdot 16 = 64 \Rightarrow BD = 8$. **Ответ: BD = 8.** **5. Рис. 7.21.** $\triangle AOC \sim \triangle BOD$ (по 2 углам: вертикальные и накрест лежащие при $AC \parallel BD$). $k = \frac{AC}{BD} = \frac{6}{10} = 0,6$. $CO = k \cdot BO = 0,6 \cdot 8 = 4,8$. $AO = k \cdot DO = 0,6 \cdot 5 = 3$. **Ответ: CO = 4,8, AO = 3.** **6. Рис. 7.22.** $\triangle ABC \sim \triangle EDC$ (прямоугольные с общим углом $C$). $\frac{BC}{DC} = \frac{AC}{EC} \Rightarrow BC \cdot EC = AC \cdot DC$. Из $\triangle ABK$ по Пифагору: $AK = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Но здесь $BK$ — высота, $AB=6$, $AK=4$. Тогда $BK = \sqrt{36-16} = \sqrt{20}$. В прямоугольном $\triangle ABC$: $AB^2 = AK \cdot AC \Rightarrow 36 = 4 \cdot AC \Rightarrow AC = 9$. Тогда $KC = 9 - 4 = 5$. В $\triangle EDC$: $EC = AC - AE = 9 - 1 = 8$. $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{81-36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$. **Ответ: BC = 3√5.**