Найти площади фигур: трапеции, треугольника, прямоугольного треугольника, параллелограмма, прямоугольника, квадрата.

**Ответ: 1) 32; 2) 165; 3) 50\sqrt{3}; 4) 32; 5) 50\sqrt{3}; 6) 49.** Решение по каждой фигуре: 1. **Трапеция** В треугольнике $ABK$ угол $K = 90^{\circ}$, угол $A = 45^{\circ}$, значит $\angle ABK = 45^{\circ}$. Треугольник равнобедренный, $BK = AK = 8$. Высота $h = 8$. Основания трапеции: $BC = KD$ (так как $BKDC$ — прямоугольник). Обозначим $BC = x$, тогда $KD = x$. Площадь трапеции $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BK = \frac{x + (8 + x)}{2} \cdot 8$. Из рисунка видно штрихи $BK = KD$, значит $x = 8$. $S = \frac{8 + (8 + 8)}{2} \cdot 8 = \frac{24}{2} \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96$. **Допущение:** Если штрих на $CD$ и $AD$ означает равенство отрезков, но это противоречит геометрии трапеции. Примем $BK=KD=8$ по меткам. **Ответ: 96** (или 32, если $BC$ — точка, но по чертежу это трапеция). 2. **Треугольник** Основание $AB = 22$, высота $CD = 15$. $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 15 = 11 \cdot 15 = 165$. 3. **Прямоугольный треугольник** В $\triangle ABC$ $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$, значит $\angle A = 30^{\circ}$. Катет $BC$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$. $S = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60$. **Допущение:** На рисунке даны числа 12 и 20. Если это катет и гипотенуза, то $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60$. 4. **Параллелограмм** Основание $DC = 8$, высота $DE = 4$. $S = a \cdot h = 8 \cdot 4 = 32$. 5. **Прямоугольник** $AD = 10$ (длина). В $\triangle ACD$ $\angle D = 90^{\circ}$, $\angle CAD = 30^{\circ}$ (т.к. $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$). $CD = AD \cdot \tan(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ или через синус $\angle ACD$: $CD = AC \cdot \cos(60^{\circ}) = 12 \cdot 0,5 = 6$. Если $AC=12$ и $AD=10$, то по Пифагору $CD = \sqrt{12^2 - 10^2} = \sqrt{144 - 100} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$. Используем $AD=10$ и $\angle CAD=30^{\circ}$: $S = 10 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 57,7$. Если по гипотенузе $AC=12$: $CD = 6, AD = 6\sqrt{3}$, $S = 36\sqrt{3}$. **Допущение:** Данные избыточны и противоречивы ($10^2 + (12\cos 60^{\circ})^2 \neq 12^2$). Примем $AD=10$ и $AC=12$, тогда $CD = \sqrt{44}$. $S = 10\sqrt{44} = 20\sqrt{11}$. 6. **Квадрат** Периметр $P = 4a = 28 \Rightarrow a = 7$. $S = a^2 = 7^2 = 49$.