Решите задачи: 1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если катеты равны 5 см и 8 см. 2. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60, если гипотенуза равна 8 см...

**Вариант 1** 1. **Ответ: $\sqrt{89}$ см.** По теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89}$. 2. **Ответ: 4 см.** Катет, лежащий против угла $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Если один угол $60^{\circ}$, то второй острый угол $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Катет равен $8 : 2 = 4$. 3. **Ответ: $6\sqrt{3}$ см.** Высота равностороннего треугольника: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$. 4. **Ответ: $25\sqrt{3}$ см$^2$.** Площадь равностороннего треугольника: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$. 5. **Ответ: $\sqrt{85}$ см.** Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам ($14 : 2 = 7$). По теореме Пифагора боковая сторона $c = \sqrt{7^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}$. 6. **Ответ: $12\sqrt{3}$ см$^2$.** Углы при основании равны $(180^{\circ} - 120^{\circ}) : 2 = 30^{\circ}$. Высота $h = \frac{12}{2} \cdot \operatorname{tg} 30^{\circ} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$. 7. **Ответ: $\frac{3\sqrt{105}}{4}$ см$^2$.** По формуле Герона: $p = \frac{3+5+6}{2} = 7$. $S = \sqrt{7(7-3)(7-5)(7-6)} = \sqrt{7 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$. **Допущение:** В условии 7 задачи обычно подбирают числа для целого ответа, но при данных 3, 5, 6 результат иррационален: $S = \sqrt{7 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{56} \approx 7,48$.