Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 1. Найдите площадь квадрата ABCD.

**Ответ: 0,8** **Решение:** 1. Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $AD = a$. Так как точка $O$ — середина стороны $CD$, то отрезок $OD = \frac{a}{2}$. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADO$ (угол $D = 90^\circ$). В нём катеты равны $AD = a$ и $OD = \frac{a}{2}$. 3. Гипотенуза $AO$ этого треугольника является радиусом окружности, так как центр окружности находится в точке $O$, а окружность проходит через вершину $A$. По условию радиус $R = 1$, значит $AO = 1$. 4. По теореме Пифагора для $\triangle ADO$: $AD^2 + OD^2 = AO^2$ $a^2 + (\frac{a}{2})^2 = 1^2$ $a^2 + \frac{a^2}{4} = 1$ $\frac{5a^2}{4} = 1$ $a^2 = \frac{4}{5} = 0,8$ 5. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$. $S = 0,8$