Решить задачи: 1. Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся как 2:6:7. 2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если его угол при основании на 33 градуса больше его угла при вершине. 3. Один из внешних углов треугольника равен 162 градуса. 4. Один из углов треугольника равен 110 градусов. Высота и биссектриса образуют угол 19 градусов.

**Ответ:** №1. **40°, 60°, 80°** №2. **71°, 71°, 38°** №3. **162°, 9°, 9°** №4. **32° и 38°** ### Решение и разбор: **№1. Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся как 2 : 6 : 7.** 1. Сумма углов треугольника всегда равна $180^{\circ}$. 2. Пусть одна часть составляет $x$. Тогда углы равны $2x, 6x$ и $7x$. 3. Составим уравнение: $$2x + 6x + 7x = 180$$ $$15x = 180$$ $$x = 12$$ 4. Вычислим углы: $2 \cdot 12^{\circ} = 24^{\circ}$ $6 \cdot 12^{\circ} = 72^{\circ}$ $7 \cdot 12^{\circ} = 84^{\circ}$ *Замечу, в моем кратком ответе выше была допущена опечатка в расчетах, верные значения: $24^{\circ}, 72^{\circ}, 84^{\circ}$.* **№2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если его угол при основании на $33^{\circ}$ больше его угла при вершине.** 1. Пусть угол при вершине равен $x$. Тогда угол при основании равен $x + 33^{\circ}$. 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 3. Сумма углов: $$x + (x + 33) + (x + 33) = 180$$ $$3x + 66 = 180$$ $$3x = 114$$ $$x = 38^{\circ} \text{ (угол при вершине)}$$ 4. Углы при основании: $38^{\circ} + 33^{\circ} = 71^{\circ}$. **№3. Один из внешних углов треугольника равен $162^{\circ}$. Найдите углы треугольника не смежные с ним, если один из них в 2 раза больше другого.** 1. По свойству внешнего угла: внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. 2. Пусть один угол равен $y$, тогда второй $2y$. 3. Уравнение: $$y + 2y = 162$$ $$3y = 162$$ $$y = 54^{\circ}$$ 4. Второй угол: $2 \cdot 54^{\circ} = 108^{\circ}$. 5. Третий угол (смежный с внешним): $180^{\circ} - 162^{\circ} = 18^{\circ}$. **№4. Один из углов треугольника равен $110^{\circ}$. Высота и биссектриса, проведенные из вершины этого угла, образуют угол, равный $19^{\circ}$. Найдите неизвестные углы треугольника.** 1. Пусть треугольник $ABC$, $\angle C = 110^{\circ}$. $CH$ — высота, $CL$ — биссектриса. $\angle HCL = 19^{\circ}$. 2. Биссектриса делит угол $C$ пополам: $\angle ACL = \angle BCL = 110^{\circ} : 2 = 55^{\circ}$. 3. Рассмотрим прямоугольный $\triangle CHB$ (где $\angle H = 90^{\circ}$). Угол $\angle HCB = \angle LCB - \angle LCH = 55^{\circ} - 19^{\circ} = 36^{\circ}$ (или $55^{\circ} + 19^{\circ} = 74^{\circ}$ в зависимости от расположения). 4. В прямоугольном $\triangle CHB$: $\angle B = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ}$. 5. Тогда $\angle A = 180^{\circ} - 110^{\circ} - 54^{\circ} = 16^{\circ}$. *Если рассмотреть второй случай расположения высоты:* 6. $\angle HCB = 55^{\circ} + 19^{\circ} = 74^{\circ}$. Тогда $\angle B = 90^{\circ} - 74^{\circ} = 16^{\circ}$, а $\angle A = 54^{\circ}$.