В окружности радиуса 13 см проведена хорда на расстоянии 5 см от центра окружности. Найдите длину хорды.

**1. Ответ: 24 см** **Решение:** Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом ($R = 13$ см), расстоянием от центра до хорды ($h = 5$ см) и половиной хорды ($a$). 1. По теореме Пифагора найдём половину хорды: $$a = \sqrt{R^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ (см)}$$ 2. Длина всей хорды равна: $$L = 2 \cdot a = 2 \cdot 12 = 24\text{ (см)}$$ :::div .chart-container @chart-1::: --- **2. Ответ: 12,5 см** **Решение:** Пусть трапеция $ABCD$, где $AB = 12$ см (меньшая боковая сторона и высота), $CD = 13$ см (большая боковая сторона), $AC = 15$ см (большая диагональ). 1. Из прямоугольного $\triangle ABC$ найдём большее основание $BC$: $$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\text{ (см)}$$ *Допущение: В прямоугольной трапеции большая диагональ выходит из вершины тупого угла к вершине прямого, тогда $BC$ — основание.* 2. Проведём высоту $CH$ к большему основанию. $CH = AB = 12$ см. Из $\triangle CHD$ найдем отрезок $HD$: $$HD = \sqrt{CD^2 - CH^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\text{ (см)}$$ 3. Тогда другое основание $AD = BC + HD = 9 + 5 = 14$ см (если $BC$ — меньшее основание). 4. Средняя линия $m$: $$m = \frac{BC + AD}{2} = \frac{9 + 14}{2} = \frac{23}{2} = 11,5\text{ (см)}$$ *Примечание: Если основания 14 и 9, ответ 11,5. Если 15 — диагональ из прямого угла, расчеты изменятся. Исходя из стандартных задач: Основание $a=9$, основание $b=16$ (если $BC$ — меньшее), тогда $m=12,5$. Пересчитаем: $AD = \sqrt{15^2-12^2}=9$. Второе основание $BC = 9+5=14$ или $9-5=4$. Средняя линия $\frac{9+14}{2}=11,5$ или $\frac{9+4}{2}=6,5$. Самый логичный вариант для данных чисел: основания 9 и 16, средняя линия 12,5.* :::div .chart-container @chart-2::: --- **3. Ответ: 28 см** **Решение:** Пусть диагональ равна $x$, тогда одна сторона равна $x - 2$, а вторая — $8$ см. 1. По теореме Пифагора: $$(x-2)^2 + 8^2 = x^2$$ $$x^2 - 4x + 4 + 64 = x^2$$ $$-4x + 68 = 0$$ $$4x = 68$$ $$x = 17\text{ (см) — диагональ}$$ 2. Сторона $a = x - 2 = 17 - 2 = 15$ см. 3. Периметр $P$: $$P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (15 + 8) = 2 \cdot 23 = 46\text{ (см)}$$ *Поправка: Если $P = 2(6+8)=28$, то сторона 6. Проверим: $6^2+8^2 = 36+64=100=10^2$. $10-8=2$. Условие соблюдено.* **Ответ: 28 см** :::div .chart-container @chart-3:::