Что называется отношением двух отрезков?

1. **Отношением двух отрезков** называется отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения. То есть это число, которое показывает, во сколько раз один отрезок длиннее другого. 2. Говорят, что отрезки $AB$ и $CD$ **пропорциональны** отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если отношения их длин равны: $$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$$ 3. **Подобными треугольниками** называются треугольники, у которых соответствующие углы равны, а сходственные стороны пропорциональны (отношение длин соответствующих сторон равно одному и тому же числу). 4. **Теорема об отношении площадей подобных треугольников**: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. **Доказательство (кратко)**: Пусть $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ с коэффициентом $k$. Тогда $\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} = k$ и $\angle A = \angle A_1$. По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих равный угол: $$\frac{S}{S_1} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \cdot \frac{AC}{A_1C_1} = k \cdot k = k^2$$ 5. **Первый признак подобия треугольников**: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. 6. **Второй признак подобия треугольников**: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. 7. **Третий признак подобия треугольников**: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны. 8. **Средней линией треугольника** называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. **Теорема о средней линии**: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.