Решите уравнения: 1) √3sin x + cos x = 0; 3) sin² x - 5sin x cos x + 4cos² x = 0

**Ответ: 1) $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; 3) $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ и $x = \operatorname{arctg}(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$** 1) $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 0$ Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$): $$\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0$$ $$\sqrt{3}\operatorname{tg} x = -1$$ $$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 3) $\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 4\cos^2 x = 0$ Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$): $$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 5\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 4\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$ $$\operatorname{tg}^2 x - 5\operatorname{tg} x + 4 = 0$$ Пусть $\operatorname{tg} x = t$, тогда: $$t^2 - 5t + 4 = 0$$ По теореме Виета корни уравнения: $$t_1 = 1, t_2 = 4$$ Вернемся к замене: 1. $\operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2. $\operatorname{tg} x = 4 \Rightarrow x = \operatorname{arctg}(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$