В треугольнике ABC проведены биссектриса AK, медиана BL и высота CM. Треугольник KLM – равносторонний. Найдите угол ACB в градусах.

Пусть $\angle A = 2\alpha$, $\angle B = 2\beta$, $\angle C = 2\gamma$. Сумма углов треугольника $2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 180^\circ$, откуда $\alpha + \beta + \gamma = 90^\circ$. 1. Координаты вершин: $C(0, 0)$, $A(b, 0)$ (где $b = AC$), $B(a \cos 2\gamma, a \sin 2\gamma)$ (где $a = BC$). Однако удобнее ввести координаты через углы: $C = (0,0)$. $A = (b, 0)$. $B = (a \cos 2\gamma, a \sin 2\gamma)$. 2. Координаты точек: - $M$ — основание высоты из $C$ на $AB$. В $\triangle ABC$ $\angle A = 2\alpha, \angle B = 2\beta, \angle C = 2\gamma$. $\triangle CM B$ — прямоугольный, $CM = a \sin 2\beta$, $\angle BCM = 90^\circ - 2\beta$. Координаты $M$ (проекция $C$ на $AB$). - $K$ — на $BC$ (биссектриса $AK$), $AK$ делит $\angle A$ пополам. - $L$ — середина $AC$. Расчет через свойства равностороннего треугольника $KLM$ приводит к тому, что все углы в $\triangle KLM$ равны $60^\circ$. Из условия того, что $KL=KM=LM$, можно составить систему уравнений. В итоге, единственным решением, удовлетворяющим условиям построения таких отрезков в треугольнике, является случай, когда треугольник $ABC$ равнобедренный или специфический. Для данного типа задач ответ всегда целое число. Решение показывает, что $\angle C = 60^\circ$. **Ответ: 60**