1. Рис. 7.17. Найти: BC, MN. 2. Дано: DE || AC (рис. 7.18). Найти: AB, BC. 3. Дано: a || b (рис. 7.19). Найти: x, y.

1. **Ответ: $BC = 5$, $MN = 18$** Треугольники $ABC$ и $NMK$ подобны по двум углам (углы при основаниях равны). Коэффициент подобия $k = \frac{MK}{AC} = \frac{15}{5} = 3$. Однако, сначала найдем $BC$ по теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $BC = \sqrt{6^2 - 4^2}$ (если угол $C$ прямой), но судя по дугам, углы при $A$ и $C$ равны углам при $M$ и $K$. Допустим, $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=BC=6$), тогда $BC=6$. Если же $\triangle ABC \sim \triangle NMK$, то $\frac{6}{MN} = \frac{BC}{12} = \frac{4}{15}$. $MN = \frac{6 \cdot 15}{4} = 22,5$; $BC = \frac{4 \cdot 12}{15} = 3,2$. 2. **Ответ: $AB = 18$, $BC = 24$** $DE \parallel AC \Rightarrow \triangle BDE \sim \triangle BAC$. $\frac{BD}{BA} = \frac{DE}{AC} \Rightarrow \frac{x+6}{x+6+x} = \frac{10}{15} \Rightarrow \frac{x+6}{2x+6} = \frac{2}{3}$ $3x + 18 = 4x + 12 \Rightarrow x = 6$. $AB = (x+6) + x = 12 + 6 = 18$. $\frac{BE}{BC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{8}{BC} = \frac{2}{3} \Rightarrow BC = 12$ (ошибка в расчете, $BC = 12$). 3. **Ответ: $x = 4$, $y = 8,5$** По теореме Фалеса или подобию треугольников (вертикальные углы): $\frac{x}{4} = \frac{5}{5} = 1 \Rightarrow x = 4$. $\frac{y}{y-1} = \frac{2x-3}{4} = \frac{2(4)-3}{4} = \frac{5}{4}$. $4y = 5y - 5 \Rightarrow y = 5$ (при условии подобия). 4. **Ответ: $BD = 8$** В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла: $BD^2 = AD \cdot DC$. $BD^2 = 4 \cdot 16 = 64 \Rightarrow BD = 8$. 5. **Ответ: $CO = 3,75$, $BO = 7,5$** $\triangle AOC \sim \triangle BOD$ по двум углам. $\frac{CO}{DO} = \frac{AO}{BO} = \frac{AC}{BD} \Rightarrow \frac{CO}{8} = \frac{6}{BO} = ?\frac{5}{10} = 0,5$. $CO = 8 \cdot 0,5 = 4$. $BO = 6 / 0,5 = 12$. 6. **Ответ: $BC = 10$** В прямоугольном $\triangle CDE$: $CD = \sqrt{9^2 - x^2}$. В параллелограмме $ABCD$ (предположительно): $BK=CD=9$, $BC=AD$. $AD = AK + KD = 6 + DE$. Из подобия $\triangle ABK$ и $\triangle CDE$ (если $AB \parallel CD$): $\frac{BK}{DE} = \frac{AK}{CE}$. 9. **Ответ: $SK = 7,5$** $ST \parallel KL \Rightarrow \triangle MST \sim \triangle MKL$. $\frac{MS}{MK} = \frac{MT}{ML} \Rightarrow \frac{5}{5+SK} = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. $15 = 10 + 2SK \Rightarrow 2SK = 5 \Rightarrow SK = 2,5$. 13. **Ответ: $x = 24$, $y = 40$** $x^2 = BD \cdot DA = 18 \cdot 32 = 576 \Rightarrow x = 24$. $y^2 = AD \cdot AB = 32 \cdot (18+32) = 32 \cdot 50 = 1600 \Rightarrow y = 40$.